Resolva os PVIs dados e determine o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
l(x+1) y^prime+y=ln x y(1)=10

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
(x+1),y'+y=ln x, y(1)=10,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para resolver e depois determinar o maior intervalo de definição da solução.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y'+p(x)y=q(x). Dividindo por x+1 (supondo xneq -1):
y' + 1x+1,y = ln xx+1

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral 1x+1,dxr) =expl(ln|x+1|r) =|x+1|
Como vamos usar a condição inicial em x=1, escolhemos mu(x)=x+1 para x>-1.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
ddxl[(x+1)yr] =ln x
Integramos ambos os lados:
(x+1),y = integral ln x,dx + C = xln x - x + C
Logo
y(x)=xln x - x + Cx+1

Passo 5

Aplicamos y(1)=10. Para x=1:
(1+1),10 = 1cdotln1 - 1 + C ;Longrightarrow; 20 = 0 -1 + C ;Longrightarrow; C=21
Assim
y(x)=xln x - x + 21x+1

Passo 6

A solução envolve ln x e divide por x+1. A condição inicial está em x=1, e precisamos de x>0 para ln x estar definido. Além disso xneq -1 não interfere em x>0. Portanto o maior intervalo conectado contendo 1 é
I=(0,infty)

Resposta

y(x)=xln x - x + 21x+1, I=(0,infty)

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