Questão 5 (20 pontos)
Seja p(x)=x^2-1. Pela definição de derivada, encontre
(a) a equação da reta tangente a gráfico de p no ponto (2, p(2));
(b) um ponto x0 tal que a reta tangente no ponto (x0, p(x0)) seja paralela a y=x+4.

Passo 1

O enunciado define a função p(x)=x^2-1 e pede:
– (a) a reta tangente ao gráfico de p no ponto (2,p(2));
– (b) um ponto x0 tal que a reta tangente em l(x0,p(x0)r) seja paralela a y=x+4.
O conteúdo usado será a definição de derivada e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Usando a definição de derivada,
p'(x)=limhto0p(x+h)-p(x)h =limhto0l((x+h)^2-1r)-l(x^2-1r)h =limhto02xh+h^2h =2x

Passo 3

Para (a), em x=2 temos
m=p'(2)=2cdot2=4 e
y0=p(2)=2^2-1=3.
A reta tangente usa
y - y0=m,(x - x0)
com (x0,y0)=(2,3), logo
y-3=4(x-2) Longrightarrow y=4x-8+3=4x-5

Passo 4

Para (b), pedem reta paralela a y=x+4, cuja inclinação é 1.
Então impomos p'(x0)=2x0=1, daí
x0=tfrac12
O ponto correspondente é
pl(tfrac12r)=l(tfrac12r)^2-1=tfrac14-1=-tfrac34

Resposta

(a) y=4x-5
(b) l(tfrac12,-tfrac34r)

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