Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de variáveis separáveis:
d yd x=(y^2+1) cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: dydx = (y^2 + 1) cos x. Estamos lidando com uma equação de primeiras ordem que pode ser resolvida usando o método de variáveis separáveis. Para isso, vamos precisar separar as partes que envolvem y das que envolvem x e integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x. Para isso, colocamos todos os termos com y de um lado e os com x do outro:
dyy^2 + 1 = cos x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitiva (antiderivada) de cada lado.
integral dyy^2 + 1 = integral cos x , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente:
  • A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta na função arcotangente:
    integral dyy^2 + 1 = arctan(y) + C1
  • A integral do lado direito é a integral do cosseno, que resulta no seno:
    integral cos x , dx = sin x + C2

Passo 5

Agora, igualamos as duas expressões, lembrando que C1 e C2 são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante C:
arctan(y) = sin x + C

Passo 6

Para isolar y, aplicamos a função tangente dos dois lados da equação:
y = tan(sin x + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = tan(sin x + C)

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