Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Estamos lidando com uma equação de primeiras ordem que pode ser resolvida usando o método de variáveis separáveis. Para isso, vamos precisar separar as partes que envolvem
das que envolvem
e integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os com
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitiva (antiderivada) de cada lado.
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente:
-
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta na função arcotangente:
-
A integral do lado direito é a integral do cosseno, que resulta no seno:
Passo 5
Agora, igualamos as duas expressões, lembrando que
e
são constantes de integração. Podemos combinar essas constantes em uma única constante
:
Passo 6
Para isolar
, aplicamos a função tangente dos dois lados da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: