Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de separação de variáveis. Isso significa que a gente vai separar os termos que têm
dos que têm
para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais e como rearranjar equações.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. Começamos multiplicando ambos os lados por
e por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
E integrando o lado direito em relação a
:
Passo 4
Após integrar, temos:
Onde
é a constante de integração que aparece quando fazemos indefinidas.
Passo 5
Podemos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
Onde
continua sendo uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.