Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de variáveis separáveis:
d yd x=xy+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dydx = xy+1 usando o método de separação de variáveis. Isso significa que a gente vai separar os termos que têm y dos que têm x para facilitar a resolução. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais e como rearranjar equações.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado. Começamos multiplicando ambos os lados por (y+1) e por dx:
(y + 1) , dy = x , dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos encontrar as antiderivadas de cada lado.
Integrando o lado esquerdo em relação a y:
integral (y + 1) , dy = integral y , dy + integral 1 , dy = y^22 + y
E integrando o lado direito em relação a x:
integral x , dx = x^22

Passo 4

Após integrar, temos:
y^22 + y = x^22 + C
Onde C é a constante de integração que aparece quando fazemos indefinidas.

Passo 5

Podemos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 2 para facilitar:
y^2 + 2y = x^2 + C'
Onde C' = 2C continua sendo uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 + 2y = x^2 + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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