5^a Questão: (20 pontos) Usando eliminação Gaussiana, encontre a matriz de inversa de
A=(ccc -3 & 1 & -2 2 & -1 & 2 3 & 3 & -4 )
1

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
A= -3 & 1 & -2 2 & -1 & 2 3 & 3 & -4
usando eliminação de Gauss. O conteúdo da matéria é o método de matrizes aumentadas: montamos [Amid I] e aplicamos operações de linha até obter [Imid A^-1].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada [Amid I]:
[Amid I] = -3 & 1 & -2 &mid& 1 & 0 & 0 2 & -1 & 2 &mid& 0 & 1 & 0 3 & 3 & -4 &mid& 0 & 0 & 1

Passo 3

Pivot na coluna 1: para simplificar, trocamos R1rightarrowR2, dividimos a nova R1 por 2, e zeramos abaixo:
R1&12,R1 &(2,,-1,,2mid0,,1,,0);to;(1,,-tfrac12,,1mid0,,tfrac12,,0), R2&R2+3,R1 &(-3,,1,,-2mid1,,0,,0)+3(1,,-tfrac12,,1mid0,,tfrac12,,0) &&=(0,,-tfrac12,,1mid1,,tfrac32,,0), R3&R3-3,R1 &(3,,3,,-4mid0,,0,,1)-3(1,,-tfrac12,,1mid0,,tfrac12,,0) &&=(0,,tfrac92,,-7mid0,,-tfrac32,,1)

Passo 4

Pivot na coluna 2: escalonamos R2 e eliminamos acima e abaixo:
R2& -2,R2 &(0,,-tfrac12,,1mid1,,tfrac32,,0);to;(0,,1,,-2mid-2,,-3,,0), R1&R1+tfrac12,R2 &(1,,-tfrac12,,1mid0,,tfrac12,,0)+tfrac12(0,,1,,-2mid-2,,-3,,0) &&=(1,,0,,0mid-1,,-1,,0), R3&R3-tfrac92,R2 &(0,,tfrac92,,-7mid0,,-tfrac32,,1)-tfrac92(0,,1,,-2mid-2,,-3,,0) &&=(0,,0,,2mid9,,12,,1)

Passo 5

Pivot na coluna 3: dividimos R3 por 2 e eliminamos acima:
R3&tfrac12,R3 &(0,,0,,2mid9,,12,,1);to;(0,,0,,1midtfrac92,,6,,tfrac12), R2&R2+2,R3 &(0,,1,,-2mid-2,,-3,,0)+2(0,,0,,1midtfrac92,,6,,tfrac12) &&=(0,,1,,0mid7,,9,,1), R1& já está com entrada 0 na coluna 3, logo permanece áá
Agora temos [Imid A^-1].

Resposta

A^-1 = -1 & -1 & 0 7 & 9 & 1 tfrac92 & 6 & tfrac12

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