Resolva explicitamente a equacão diforoncial abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Esse tipo de equação pode ser tratado como
onde vamos primeiro testar exatidão e, se necessário, buscar um fator integrante.
Passo 2
Calcular
e
.
Temos
Temos
logo
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Observamos que
e
são homogêneos de grau
(cada termo tem soma dos expoentes igual a
).
Para formas homogêneas a gente pode usar o fator integrante
Para formas homogêneas a gente pode usar o fator integrante
Passo 4
Calcular
:
Então
Multiplicando a equação original por
, obtemos
e a equação fica exata.
Passo 5
Como agora
é exata, existe
tal que
Integrando em
:
Como
deve ser
, segue
e
Portanto
Passo 6
A solução geral, na forma implícita, é
ou seja
onde
é constante arbitrária. Como queremos a solução mais simples, escrevemos
Resposta
com
constante.