Resolva explicitamente a equacão diforoncial abaixo:
(x^9 y+y^10) d x+(y^9 x+x^10) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^9y + y^10),dx + (y^9x + x^10),dy = 0
Esse tipo de equação pode ser tratado como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde vamos primeiro testar exatidão e, se necessário, buscar um fator integrante.

Passo 2

Calcular partial M/partial y e partial N/partial x.
Temos
M = x^9y + y^10, N = y^9x + x^10,
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partial Mpartial y = x^9 + 10,y^9, partial Npartial x = y^9 + 10,x^9
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Observamos que M e N são homogêneos de grau 10 (cada termo tem soma dos expoentes igual a 10).
Para formas homogêneas a gente pode usar o fator integrante
mu(x,y) = 1x,M(x,y) + y,N(x,y)

Passo 4

Calcular xM + yN:
xM + yN = x(x^9 y + y^10) + y(y^9 x + x^10) = 2,x,y,(x^9 + y^9)
Então
mu = 12,x,y,(x^9 + y^9)
Multiplicando a equação original por mu, obtemos
mu,M = 12,x, mu,N = 12,y,
e a equação fica exata.

Passo 5

Como agora
mu,M,dx + mu,N,dy = 12x,dx + 12y,dy = 0
é exata, existe F(x,y) tal que
partial Fpartial x = 12x, partial Fpartial y = 12y
Integrando em x:
F(x,y) = integral 12x,dx = 12 ln|x| + h(y)
Como partial F/partial y = h'(y) deve ser 1/(2y), segue h'(y)=1/(2y) e
h(y) = 12 ln|y|
Portanto
F(x,y) = 12ln|x| + 12ln|y| = 12ln|x,y|

Passo 6

A solução geral, na forma implícita, é
F(x,y) = C Longrightarrow 12ln|x,y| = C Longrightarrow ln|x,y| = 2C = C',
ou seja
|x,y| = e^C' = K,
onde K é constante arbitrária. Como queremos a solução mais simples, escrevemos
x,y = K

Resposta

x,y = K,
com K constante.

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