Questão 20 A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e o tempo em segundos. a) Determine a expressão da velocidade
e da aceleração
em função do tempo
. b) Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para
e
Determine o deslocamento e a velocidade média do objeto entre
e
. d) Encontre o instante a posição que o objeto pára. e) Faça o gráfico da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.
Passo 1
O enunciado diz que a posição de um objeto é
em que
está em metros e
em segundos. Queremos usar cálculo diferencial para obter velocidade e aceleração, avaliar essas funções em instantes dados, calcular deslocamento e velocidade média num intervalo, achar quando a velocidade é zero e por fim esboçar os gráficos de
,
e
.
Passo 2
A velocidade é a derivada de
em relação a
, e a aceleração é a derivada de
. Assim,
Passo 3
Agora avaliamos
,
e
em
,
,
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Entre
e
o deslocamento é
A velocidade média é
Passo 5
O objeto pára quando
:
Nesse instante a posição é
m.
Passo 6
Esboço qualitativo dos gráficos (eixo horizontal é
, eixo vertical é a grandeza):
– : parábola côncava para baixo, vértice em
, cruza
em
e
.
– : reta decrescente com intercepto
em
e inclinação
, corta o eixo
em
.
– : reta horizontal em
.
–
–
–
Resposta
(a)
(b)
(c) m e
m/s.
(d) Para temos
s e
m.
(e) : parábola côncava para baixo;
: reta decrescente;
: constante
.
(b)
(c)
(d) Para
(e)