Questão 20 A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x(t)=3+2 t-t^2, em que x está em metros e o tempo em segundos. a) Determine a expressão da velocidade v(t) e da aceleração a(t) em função do tempo t. b) Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para t=0, t=1 s, t=2 s e t=3 s c) Determine o deslocamento e a velocidade média do objeto entre t=1 s e t=3 s. d) Encontre o instante a posição que o objeto pára. e) Faça o gráfico da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado diz que a posição de um objeto é
x(t)=3+2t - t^2
em que x está em metros e t em segundos. Queremos usar cálculo diferencial para obter velocidade e aceleração, avaliar essas funções em instantes dados, calcular deslocamento e velocidade média num intervalo, achar quando a velocidade é zero e por fim esboçar os gráficos de x(t), v(t) e a(t).

Passo 2

A velocidade é a derivada de x(t) em relação a t, e a aceleração é a derivada de v(t). Assim,
v(t)=dxdt = 2 - 2t,
a(t)=dvdt = -2

Passo 3

Agora avaliamos x(t), v(t) e a(t) em t=0, 1, 2 e 3:
Para t=0:
x(0)=3+0-0=3, v(0)=2-0=2, a(0)=-2
Para t=1:
x(1)=3+2-1=4, v(1)=2-2=0, a(1)=-2
Para t=2:
x(2)=3+4-4=3, v(2)=2-4=-2, a(2)=-2
Para t=3:
x(3)=3+6-9=0, v(3)=2-6=-4, a(3)=-2

Passo 4

Entre t=1 e t=3 o deslocamento é
De<a x = x(3)-x(1)=0-4=-4 m
A velocidade média é
vméd = De<a xDe<a t = -43-1 = -2 m/s é

Passo 5

O objeto pára quando v(t)=0:
2 - 2t = 0 ;Rightarrow; t=1 s
Nesse instante a posição é x(1)=4 m.

Passo 6

Esboço qualitativo dos gráficos (eixo horizontal é t, eixo vertical é a grandeza):
x(t): parábola côncava para baixo, vértice em (1,4), cruza x=0 em t=-1 e t=3.
v(t): reta decrescente com intercepto 2 em t=0 e inclinação -2, corta o eixo t em t=1.
a(t): reta horizontal em -2.

Resposta

(a) v(t)=2-2t, a(t)=-2
(b)
t=0:;x=3,;v=2,;a=-2
t=1:;x=4,;v=0,;a=-2
t=2:;x=3,;v=-2,;a=-2
t=3:;x=0,;v=-4,;a=-2
(c) De<a x=-4 m e vméd=-2é m/s.
(d) Para v=0 temos t=1 s e x(1)=4 m.
(e) x(t): parábola côncava para baixo; v(t): reta decrescente; a(t): constante -2.

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