Questão 22 A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=A+B t+C t^3, onde x é medido em metros e o tempo t em segundos. a) Quais são as unidades das constantes A, B e C. b) Determine a expressão da velocidade e da aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, temos uma partícula no eixo x cuja posição varia com o tempo assim:
x = A + B,t + C,t^3
Isso é um exercício de Cinemática (posição, velocidade e aceleração) e também de Análise Dimensional (unidades).
O que a gente vai usar:
  • A ideia de que cada termo de x deve ter unidade de comprimento (metro).
  • A definição de velocidade como v(t)=dxdt e de aceleração como a(t)=dvdt.
  • A regra de derivação de potências: ddt(t^n)=n,t^n-1.

Passo 2

Vamos achar as unidades de A, B e C pela Análise Dimensional.
Como x está em metros (m), cada termo na soma também precisa estar em metros:
  • A é sozinho, então tem que ter unidade de metro → [A]=m.
  • B,t tem que dar metro e t está em segundos (s), logo B deve ser metro por segundo → [B]=m/s.
  • C,t^3 tem que dar metro e t^3 é s^3, então C é metro por segundo cúbico → [C]=m/s^3.

Passo 3

Agora, velocidade v(t)=dxdt.
Aplicando derivada em cada termo de x=A + B,t + C,t^3:
  • Derivada de A (constante) é 0.
  • Derivada de B,t é B.
  • Derivada de C,t^3 usando a regra da potência: 3,C,t^2.
    Logo
v(t) = B + 3,C,t^2

Passo 4

Por fim, aceleração a(t)=dvdt.
Derivando v(t)=B + 3,C,t^2:
  • Derivada de B é 0.
  • Derivada de 3,C,t^2 é 3cdot2,C,t = 6,C,t.
    Então
a(t) = 6,C,t

Resposta

a) [A]=m,;[B]=m/s,;[C]=m/s^3.
b) v(t)=B+3Ct^2, a(t)=6Ct.

Exercícios relacionados