Questão 20: Usando multiplicadores de Lagrange prove que o produto dos senos dos ângulos de um triângulo é máximo quando o triângulo é equilátero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto dos senos dos ângulos de um triângulo é máximo quando o triângulo é equilátero, usando Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição (metodo de multiplicadores de Lagrange) e precisamos lidar com a função objetivo e a restrição de soma dos ângulos.

Passo 2

Definimos a função objetivo e a restrição:
f(A,B,C)=sin A,sin B,sin C, g(A,B,C)=A+B+C-pi=0
Montamos a Lagrangiana
L(A,B,C,lambda)=sin A,sin B,sin C - lambda,(A+B+C-pi)

Passo 3

Calculamos as condições de estação:
partialLpartial A=cos A,sin B,sin C - lambda=0,
partialLpartial B=sin A,cos B,sin C - lambda=0,
partialLpartial C=sin A,sin B,cos C - lambda=0

Passo 4

Igualando as primeiras duas equações:
cos A,sin B,sin C = sin A,cos B,sin C implies cos Asin A=cos Bsin B implies cot A=cot B implies A=B
Analogamente obtemos B=C, logo A=B=C.

Passo 5

Como A+B+C=pi e todos são iguais, cada um vale pi/3. Esse ponto interno simétrico é o único crítico e, por simetria e análise de contorno (ângulos positivos), é o máximo.

Passo 6

Portanto o produto sin Asin Bsin C atinge valor máximo quando A=B=C=pi/3.

Resposta

O produto sin A,sin B,sin C é máximo para A=B=C=pi/3, ou seja, no triângulo equilátero.

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