Questão 20: Usando multiplicadores de Lagrange prove que o produto dos senos dos ângulos de um triângulo é máximo quando o triângulo é equilátero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o produto dos senos dos ângulos de um triângulo é máximo quando o triângulo é equilátero, usando Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição (metodo de multiplicadores de Lagrange) e precisamos lidar com a função objetivo e a restrição de soma dos ângulos.
Passo 2
Definimos a função objetivo e a restrição:
Montamos a Lagrangiana
Passo 3
Calculamos as condições de estação:
Passo 4
Igualando as primeiras duas equações:
Analogamente obtemos
Passo 5
Como
e todos são iguais, cada um vale
. Esse ponto interno simétrico é o único crítico e, por simetria e análise de contorno (ângulos positivos), é o máximo.
Passo 6
Portanto o produto
atinge valor máximo quando
.
Resposta
O produto
é máximo para
, ou seja, no triângulo equilátero.