Questão 22 (méd. Jundiaí - SP)
No plano de Gauss, o afixo do número complexo
é um ponto do:
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) primeiro quadrante
d) terceiro quadrante
e) quarto quadrante
No plano de Gauss, o afixo do número complexo
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) primeiro quadrante
d) terceiro quadrante
e) quarto quadrante
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede em que parte do plano de Gauss o afixo de
se encontra. As opções são:
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) primeiro quadrante
d) terceiro quadrante
e) quarto quadrante
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) primeiro quadrante
d) terceiro quadrante
e) quarto quadrante
Informações relevantes fornecidas: o número complexo base é
e ele é elevado à potência
. Não há outros dados fornecidos.
Passo 2
Entender o que precisamos achar: para saber em que região do plano está o afixo de
precisamos conhecer as coordenadas (parte real e parte imaginária) de
. Uma forma eficiente de obter isso é escrever
em forma polar (módulo e argumento) e aplicar a fórmula de potência para números complexos. Antes de aplicar, vamos revisar o que são módulo e argumento.
O módulo de um complexo
é a distância ao origem dada por
. O argumento é o ângulo
que o vetor forma com o eixo real positivo, calculado por
(na prática,
ajustando o quadrante).
Passo 3
Calcular o módulo de
.
Aqui eu usei a fórmula do módulo com
e
.
Passo 4
Calcular o argumento de
.
Como a parte real é
e a parte imaginária é
, o complexo
está no primeiro quadrante. O ângulo é
Portanto o argumento é
.
Passo 5
Escrever
na forma polar (forma trigonométrica / exponencial). Usando módulo e argumento:
Expliquei:
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.
Passo 6
Aplicar a regra de potências para complexos (fórmula de De Moivre / exponencial): se
é um complexo, então
onde
é o módulo,
é o argumento e
é inteiro (a regra vale também para qualquer real
no caso exponencial). Aqui
,
e
. Então
Passo 7
Calcular separadamente o módulo elevado e o novo argumento.
O módulo elevado é
O argumento multiplicado é
Logo
Passo 8
Interpretar
usando a fórmula de Euler:
. Portanto
Isso significa que
é o número real
, ou seja, tem parte real
e parte imaginária
.
Passo 9
Concluir a localização no plano de Gauss: o ponto
está sobre o eixo real (mais precisamente no semieixo real negativo). Não está em nenhum quadrante (pois quadrantes exigem parte imaginária diferente de zero). Portanto a opção correta é a) eixo real.
Resposta
(a)