Questão 22 (méd. Jundiaí - SP)
No plano de Gauss, o afixo do número complexo z=(1+i)^{4} é um ponto do:
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) primeiro quadrante
d) terceiro quadrante
e) quarto quadrante

Passo 1

O enunciado dá o número complexo (1+i)^{4} e pede em que parte do plano de Gauss o afixo de z=(1+i)^{4} se encontra. As opções são:
a) eixo real
b) eixo imaginário
c) primeiro quadrante
d) terceiro quadrante
e) quarto quadrante
Informações relevantes fornecidas: o número complexo base é 1+i e ele é elevado à potência 4. Não há outros dados fornecidos.

Passo 2

Entender o que precisamos achar: para saber em que região do plano está o afixo de z precisamos conhecer as coordenadas (parte real e parte imaginária) de z. Uma forma eficiente de obter isso é escrever 1+i em forma polar (módulo e argumento) e aplicar a fórmula de potência para números complexos. Antes de aplicar, vamos revisar o que são módulo e argumento.
O módulo de um complexo a+bi é a distância ao origem dada por |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. O argumento é o ângulo \theta que o vetor forma com o eixo real positivo, calculado por \theta=\operatorname{atan2}(b,a) (na prática, \theta=\arctan(b/a) ajustando o quadrante).

Passo 3

Calcular o módulo de 1+i.
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Aqui eu usei a fórmula do módulo com a=1 e b=1.

Passo 4

Calcular o argumento de 1+i.
Como a parte real é 1>0 e a parte imaginária é 1>0, o complexo 1+i está no primeiro quadrante. O ângulo é
\theta=\arctan\!\left(\frac{1}{1}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Portanto o argumento é \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Escrever 1+i na forma polar (forma trigonométrica / exponencial). Usando módulo e argumento:
1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
Expliquei: \sqrt{2} é a distância ao origem e \pi/4 é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.

Passo 6

Aplicar a regra de potências para complexos (fórmula de De Moivre / exponencial): se re^{i\theta} é um complexo, então
(re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{i n\theta},
onde r é o módulo, \theta é o argumento e n é inteiro (a regra vale também para qualquer real n no caso exponencial). Aqui r=\sqrt{2}, \theta=\pi/4 e n=4. Então
(1+i)^{4} = \big(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\big)^{4} = (\sqrt{2})^{4}\,e^{i(4\cdot\pi/4)}.

Passo 7

Calcular separadamente o módulo elevado e o novo argumento.
O módulo elevado é
(\sqrt{2})^{4} = (\sqrt{2}^{2})^{2} = (2)^{2}=4.
O argumento multiplicado é
4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi.
Logo
(1+i)^{4} = 4\,e^{i\pi}.

Passo 8

Interpretar e^{i\pi} usando a fórmula de Euler: e^{i\pi}=\cos\pi + i\sin\pi = -1 + i\cdot 0 = -1. Portanto
(1+i)^{4} = 4\cdot(-1) = -4.
Isso significa que z=(1+i)^{4} é o número real -4, ou seja, tem parte real -4 e parte imaginária 0.

Passo 9

Concluir a localização no plano de Gauss: o ponto -4+0i está sobre o eixo real (mais precisamente no semieixo real negativo). Não está em nenhum quadrante (pois quadrantes exigem parte imaginária diferente de zero). Portanto a opção correta é a) eixo real.

Resposta

(a)

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