Questão 1: (24 Pts) Assinale V para verdadeiro ou F para falso. Todas as alternativas deverão ser provadas.
a) () Sejam an e bn duas sequências de termos positivos, tais que lim an=0 e M1 <= bn <= M2, então lim an cdot bn=0.
b) ( ) A sequência an=cos [(2 n-1) pi] converge.
c) ( ) A sequência an=sen(1n)arctg(1n) converge.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre sequências e pede para marcar V ou F, provando cada uma. O conteúdo envolve limites de sequências: (i) produto de sequência nula por sequência limitada, (ii) comportamento de sequência trigonométrica periódica, (iii) limite da razão de funções elementares para xto0. Vamos provar cada item.

Passo 2

Prova de (a).
Suponha lim an=0 e existam constantes reais M1<= bn<= M2 para todo n. Seja
M = maxl|M1|,|M2|r
Então |bn|<= M e, para todo n,
l|an,bnr| <= |an|,|bn|<= M,|an|
Como limntoinfty|an|=0, pelo Teorema do Confronto segue
limntoinftyan,bn = 0
Logo (a) é verdadeira.

Passo 3

Prova de (b).
Temos
an = cosl((2n-1)pir) = cosl(2npi - pir) = cos(pi) = -1
para todo n. Sendo a sequência constante igual a -1, ela converge (para -1). Logo (b) é verdadeira.

Passo 4

Prova de (c).
Defina xn = 1/n. Então xnto0 quando ntoinfty e
an = sen(xn)arctg(xn) = sen(xn)/xnarctg(xn)/xn
Sabemos que
limxto0sen xx=1 e limxto0arctg xx=1
Pela regra de limite de quociente,
limntoinftyan = limntoinftyl(sen(xn)/xnr) limntoinftyl(arctg(xn)/xnr) = 11 =1
Logo (c) é verdadeira.

Resposta

a) V
b) V
c) V

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