(Ruggiero) Qual o erro máximo cometido na aproximação de
\int_{0}^{4}\left(3 x^{3}-3 x+1\right) d x
pela regra de Simpson com quatro subintervalos? Calcule por trapézios repetidos e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede o erro máximo ao aproximar
\int_{0}^{4}\bigl(3x^{3}-3x+1\bigr)\,dx
pela regra de Simpson composta com quatro subintervalos, e também quer que façamos a aproximação por trapézios repetidos para comparar.
Conteúdo usado:
– Fórmula do erro máximo da regra de Simpson composta:
\bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
– Regra dos trapézios composta e cálculo direto da integral exata para avaliar o erro.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=3x^{3}-3x+1:
f'(x)=9x^{2}-3,\quad f''(x)=18x,\quad f^{(3)}(x)=18,\quad f^{(4)}(x)=0.
Como f^{(4)}(x)=0 em todo o intervalo, isso já antevê que Simpson será exato (polinômio de grau <=3).

Passo 3

Na fórmula de erro de Simpson composta temos a=0, b=4 e n=4 subintervalos, logo
h=\frac{b-a}{n}=\frac{4}{4}=1,
e
\max_{[0,4]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|=0.
Portanto
\bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{4}{180}\cdot1^{4}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Agora usamos a regra dos trapézios composta com h=1. Os nós são x_{i}=0,1,2,3,4 e
f(0)=1,\;f(1)=1,\;f(2)=19,\;f(3)=73,\;f(4)=181.
A fórmula é
T=\frac{h}{2}\Bigl[f(0)+2\bigl(f(1)+f(2)+f(3)\bigr)+f(4)\Bigr] =\frac{1}{2}\bigl[1+2(1+19+73)+181\bigr] =184.

Passo 5

Para comparar, calculamos exatamente
\int_{0}^{4}\bigl(3x^{3}-3x+1\bigr)\,dx =\left[\frac{3}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+x\right]_{0}^{4} =192-24+4=172.

Passo 6

O erro da regra dos trapézios composta é
E_{T}=T-\text{exato}=184-172=12.

Passo 7

Comparando: a regra de Simpson com quatro subintervalos tem erro máximo zero, enquanto a dos trapézios com o mesmo número de subintervalos gera erro igual a 12.

Resposta

O erro máximo da regra de Simpson é 0. Pela regra dos trapézios repetidos a aproximação é 184, dando erro de 12.

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