Questão 21: Calcule as integrais duplas a seguir:
integral duplaD cos x2 seny d x d y, onde D é o triângulo de vértices e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD cosl(tfracx2r)sin y,dx,dy, onde D é o triângulo de vértices (0,0), (pi,tfracpi2) e (0,tfracpi2). O conteúdo é integração dupla e vamos precisar: desenhar/entender a região D, expressá-la em limites de integração e aplicar integração iterada.

Passo 2

Para descrever D, note que a aresta que liga (0,0) a (pi,tfracpi2) tem equação y=tfracx2, ou seja, x=2y. Como y varia de 0 até tfracpi2, temos 0\le y\le\tfrac{\pi}{2} e, para cada y, 0\le x\le 2y.

Passo 3

Configuramos então a integral iterada como
[\
\iint_{D} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sin y,dx,dy
= \int_{y=0}{\pi/2}\Bigl(\int_{x=0}{2y} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx\Bigr)\sin y,dy
\]
Para calcular a integral interna note que integral cosl(tfracx2r),dx = 2sinl(tfracx2r). Logo,
[\
\int_{0}^{2y} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx = 2\sin\bigl(\tfrac{2y}{2}\bigr) - 2\sin 0 = 2\sin y
\]

Passo 4

Substituindo na externa fica
[\
\int_{0}^{\pi/2} 2\sin y\sin y,dy = 2\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 y,dy.
\]
Usamos a identidade sin^2 y=tfrac1-cos2y2:
[\
\;2\int_{0}^{\pi/2} \frac{1-\cos2y}{2},dy
= \int_{0}^{\pi/2}(1-\cos2y),dy
= \Bigl[y - \tfrac{\sin2y}{2}\Bigr]_0^{\pi/2}
= \frac{\pi}{2}.
\]

Resposta

pi2

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