Questão 21: Calcule as integrais duplas a seguir:
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é o triângulo de vértices
,
e
. O conteúdo é integração dupla e vamos precisar: desenhar/entender a região
, expressá-la em limites de integração e aplicar integração iterada.
Passo 2
Para descrever
, note que a aresta que liga
a
tem equação
, ou seja,
. Como
varia de 0 até
, temos 0\le y\le\tfrac{\pi}{2} e, para cada
, 0\le x\le 2y.
Passo 3
Configuramos então a integral iterada como
[\
\iint_{D} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sin y,dx,dy
= \int_{y=0}{\pi/2}\Bigl(\int_{x=0}{2y} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx\Bigr)\sin y,dy
\]
[\
\iint_{D} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\sin y,dx,dy
= \int_{y=0}{\pi/2}\Bigl(\int_{x=0}{2y} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx\Bigr)\sin y,dy
\]
Para calcular a integral interna note que
. Logo,
[\
\int_{0}^{2y} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx = 2\sin\bigl(\tfrac{2y}{2}\bigr) - 2\sin 0 = 2\sin y
\]
[\
\int_{0}^{2y} \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx = 2\sin\bigl(\tfrac{2y}{2}\bigr) - 2\sin 0 = 2\sin y
\]
Passo 4
Substituindo na externa fica
[\
\int_{0}^{\pi/2} 2\sin y\sin y,dy = 2\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 y,dy.
\]
[\
\int_{0}^{\pi/2} 2\sin y\sin y,dy = 2\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 y,dy.
\]
Usamos a identidade
:
[\
\;2\int_{0}^{\pi/2} \frac{1-\cos2y}{2},dy
= \int_{0}^{\pi/2}(1-\cos2y),dy
= \Bigl[y - \tfrac{\sin2y}{2}\Bigr]_0^{\pi/2}
= \frac{\pi}{2}.
\]
[\
\;2\int_{0}^{\pi/2} \frac{1-\cos2y}{2},dy
= \int_{0}^{\pi/2}(1-\cos2y),dy
= \Bigl[y - \tfrac{\sin2y}{2}\Bigr]_0^{\pi/2}
= \frac{\pi}{2}.
\]