Questão 21: Calcule as integrais duplas a seguir:
integral duplaD y d x d y onde

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral dupla

sobre a região D definida por

Conteúdo: integrais duplas em coordenadas cartesianas. Precisamos descrever os limites de x e y corretamente.

Passo 2

Para descrever D em forma de integrais iteradas, notamos que o limite em y é

e para que o radicando seja não negativo precisamos de
.
Assim temos a região como produto de intervalos.

Passo 3

Montando a integral iterada em dy,dx:
integral duplaD y,dx,dy = integral-2^2 integral0^raiz4-x^2 y,dy,dx
Aqui aplicamos a definição de integral dupla como integral iterada.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
integral0^raiz4-x^2 y,dy = [y^22]0^raiz4-x^2 = 4 - x^22 = 2 - x^22
Usamos a regra integral y,dy = y^2/2.

Passo 5

Agora calculamos a integral externa em x:
integral-2^2 l(2 - x^22r) dx = integral-2^22,dx - 12integral-2^2 x^2,dx
Calculando cada parte:
integral-2^22,dx = 2times(2 - (-2)) = 8
integral-2^2 x^2,dx = [x^33]-2^2 = 83 - l(-83r) = 163
Finalmente:
8 - 12times163 = 8 - 83 = 163

Passo 6

Concluindo, a integral dupla sobre D vale 163.

Resposta

\frac{16}{3}

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