Questão 21: Calcule as integrais duplas a seguir:
onde
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral dupla
sobre a região D definida por
Conteúdo: integrais duplas em coordenadas cartesianas. Precisamos descrever os limites de x e y corretamente.
sobre a região D definida por
Conteúdo: integrais duplas em coordenadas cartesianas. Precisamos descrever os limites de x e y corretamente.
Passo 2
Para descrever D em forma de integrais iteradas, notamos que o limite em y é
e para que o radicando seja não negativo precisamos de
.
Assim temos a região como produto de intervalos.
e para que o radicando seja não negativo precisamos de
Assim temos a região como produto de intervalos.
Passo 3
Montando a integral iterada em
:
Aqui aplicamos a definição de integral dupla como integral iterada.
Passo 4
Calculamos a integral interna em y:
Usamos a regra
.
Passo 5
Agora calculamos a integral externa em x:
Calculando cada parte:
Finalmente:
Passo 6
Concluindo, a integral dupla sobre D vale
.
Resposta
\frac{16}{3}