Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
A matriz tem primeira linha \,(2,3,5)\,.
A matriz tem segunda linha \,(5,80,79)\,.
A matriz tem terceira linha \,(2,3,5)\,.
O que se pede: calcular \det(A) usando propriedades dos determinantes.]
Passo 2
Lembrete das propriedades que vamos usar (explicadas de forma didática):
Operação de adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em notação de operações elementares: a operação
R_i \leftarrow R_i + k\,R_j
(com i\neq j e k qualquer escalar) deixa o determinante inalterado. Intuição: essa operação é uma combinação linear que preserva a “área/volume” orientada associada à matriz.
2. Se uma linha da matriz for a linha nula (todos os elementos zero), então o determinante é zero. Explicação simples: ao desenvolver o determinante por cofactores ao longo dessa linha, todos os termos são zero.
3. Se duas linhas são iguais, as linhas são linearmente dependentes, e isso implica que o determinante é zero. Outra maneira de ver isso é que subtrair uma linha da outra produz uma linha nula (usar propriedade 1), e então usar a propriedade 2.
Estas são propriedades padrão de determinantes que permitem evitar cálculo pesado.
Passo 3
Observar a primeira e a terceira linhas da matriz A: são idênticas, ambas são (2,3,5). Vamos transformar a matriz aplicando a operação de linha que não altera o determinante:
R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Pelo item 1 do passo anterior, essa operação não muda o valor de \det(A). Agora escrevemos a matriz resultante:
Obs.: obtive a terceira linha nula subtraindo a primeira linha da terceira (peguei os elementos da terceira linha da matriz original e apliquei a operação).]
Passo 4
Explicar por que uma linha nula implica determinante zero: ao desenvolver o determinante por cofactores ao longo da terceira linha (que é toda zero), cada termo do somatório tem um fator zero, logo a soma total é zero. De forma direta, para qualquer matriz com uma linha inteira formada por zeros, tem-se
\det(\text{matriz com uma linha nula})=0.
Aplicando isso a A', obtemos que \det(A')=0.
Passo 5
Conectar os passos: como a operação R_3 \leftarrow R_3 - R_1 não alterou o determinante (\det(A)=\det(A')), e já vimos que \det(A')=0, concluímos o valor do determinante pedido. (A sequência lógica: linhas iguais \Rightarrow pode subtrair uma da outra \Rightarrow aparece linha nula \Rightarrow determinante nulo.)