Questão 22. Calcule os determinantes a seguir usando as suas propriedades:
\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\\\ 5 & 80 & 79 \\\\ 2 & 3 & 5\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\[4pt] 5 & 80 & 79\\[4pt] 2 & 3 & 5 \end{pmatrix}
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • A matriz tem primeira linha \,(2,3,5)\,.
  • A matriz tem segunda linha \,(5,80,79)\,.
  • A matriz tem terceira linha \,(2,3,5)\,.
    O que se pede: calcular \det(A) usando propriedades dos determinantes.]

Passo 2

Lembrete das propriedades que vamos usar (explicadas de forma didática):
  1. Operação de adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Em notação de operações elementares: a operação
R_i \leftarrow R_i + k\,R_j
(com i\neq j e k qualquer escalar) deixa o determinante inalterado. Intuição: essa operação é uma combinação linear que preserva a “área/volume” orientada associada à matriz.
2. Se uma linha da matriz for a linha nula (todos os elementos zero), então o determinante é zero. Explicação simples: ao desenvolver o determinante por cofactores ao longo dessa linha, todos os termos são zero.
3. Se duas linhas são iguais, as linhas são linearmente dependentes, e isso implica que o determinante é zero. Outra maneira de ver isso é que subtrair uma linha da outra produz uma linha nula (usar propriedade 1), e então usar a propriedade 2.
Estas são propriedades padrão de determinantes que permitem evitar cálculo pesado.

Passo 3

Observar a primeira e a terceira linhas da matriz A: são idênticas, ambas são (2,3,5). Vamos transformar a matriz aplicando a operação de linha que não altera o determinante:
R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Pelo item 1 do passo anterior, essa operação não muda o valor de \det(A). Agora escrevemos a matriz resultante:
A'=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5\\[4pt] 5 & 80 & 79\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Obs.: obtive a terceira linha nula subtraindo a primeira linha da terceira (peguei os elementos da terceira linha da matriz original e apliquei a operação).]

Passo 4

Explicar por que uma linha nula implica determinante zero: ao desenvolver o determinante por cofactores ao longo da terceira linha (que é toda zero), cada termo do somatório tem um fator zero, logo a soma total é zero. De forma direta, para qualquer matriz com uma linha inteira formada por zeros, tem-se
\det(\text{matriz com uma linha nula})=0.
Aplicando isso a A', obtemos que \det(A')=0.

Passo 5

Conectar os passos: como a operação R_3 \leftarrow R_3 - R_1 não alterou o determinante ( \det(A)=\det(A')), e já vimos que \det(A')=0, concluímos o valor do determinante pedido. (A sequência lógica: linhas iguais \Rightarrow pode subtrair uma da outra \Rightarrow aparece linha nula \Rightarrow determinante nulo.)

Resposta

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