Questão 22. Calcule os determinantes a seguir usando as suas propriedades: \left|\begin{array}{llllll}x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ a & y & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ l & p & z & 0 & 0 & 0 \\\ m & n & p & x & 0 & 0 \\\ b & c & d & e & y & 0 \\\ a & b & c & d & e & z\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 6\times6 abaixo:
\left|\begin{array}{cccccc} x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] a & y & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] l & p & z & 0 & 0 & 0\\[4pt] m & n & p & x & 0 & 0\\[4pt] b & c & d & e & y & 0\\[4pt] a & b & c & d & e & z \end{array}\right|
Informações relevantes fornecidas:
É uma matriz 6\times6.
Os elementos acima da diagonal principal são todos zero (por exemplo, o elemento na posição (1,2) é 0, em (1,3) é 0, em (2,3) é 0, etc.).
Os elementos da diagonal principal são, na ordem, \,x,\;y,\;z,\;x,\;y,\;z.
O que se pede: calcular o valor do determinante dessa matriz.]
Passo 2
Observação estruturada (detectar padrão útil para a prova).
Olhe para as linhas: a linha 1 tem só x na coluna 1 e zeros nas colunas à direita; a linha 2 tem não nulos apenas nas colunas 1 e 2; a linha 3 tem não nulos apenas nas colunas 1,2,3; e assim por diante.
Em termos de índices, para todo par i<j temos o elemento (i,j)=0. Ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são nulos.
Conclusão desta observação: a matriz é uma matriz triangular inferior (lower triangular).
Passo 3
Fato importante e como usá‑lo na prova (explicação didática).
Teorema (fácil de demonstrar por indução ou expansão de Laplace): o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Demonstração curta por indução (útil para lembrar na hora da prova):
Caso base: para 1\times1 é trivial, \det([x])=x.
Passo indutivo: seja A uma matriz triangular inferior n\times n. A primeira linha tem zeros em todas as colunas exceto a (1,1). Fazendo a expansão de Laplace pela primeira linha, apenas o cofator relativo a (1,1) contribui:
\det(A)=a_{11}\det(A_{11}),onde A_{11} é a submatriz obtida apagando a primeira linha e a primeira coluna. Mas A_{11} é novamente triangular inferior (n-1)\times(n-1), então pela hipótese de indução \det(A_{11}) é produto de suas entradas diagonais. Assim \det(A) é a_{11} vezes esse produto, ou seja, o produto das entradas diagonais de A. Isso fecha a indução.
Interpretando para uma prova: sempre que identificar que uma matriz é triangular, pode imediatamente escrever que o determinante é o produto da diagonal — você pode justificar em uma linha com a expansão pela primeira linha (ou simplesmente citar o teorema, se permitido).
Passo 4
Aplicando o resultado à matriz dada.
Já identificamos que a matriz é triangular inferior.
As entradas da diagonal principal (de cima para baixo) sãox,\; y,\; z,\; x,\; y,\; z.
Pelo teorema, o determinante é o produto dessas entradas:\det = x\cdot y\cdot z\cdot x\cdot y\cdot z.
Passo 5
Fazendo a multiplicação final (sempre organize para ficar limpo na prova).
Agrupando os fatores iguais:\det = x^2 y^2 z^2.
Observação final motivadora: essa conta foi curtinha porque soubemos reconhecer a matriz triangular — na prova, gastar um tempo para ver esse padrão geralmente economiza muito trabalho.