O enunciado tem duas partes. Na Questão 21 precisamos mostrar que o conjunto \beta=\{\,1-t,\,(1-t)^2,\,(1-t)^3,\,1\}
gera o espaço vetorial P_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau até 3). Na Questão 22 precisamos mostrar que o conjunto
gera o espaço M_{2}(\mathbb{R}) (todas as matrizes 2\times2). Em ambos os casos usaremos a definição de gerador: mostrar que um elemento genérico do espaço pode ser escrito como combinação linear dos geradores dados.
Passo 2
Questão 21. Seja um polinômio genérico de grau <=3
p(t)=\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2+\alpha_3t^3.
Procuramos coeficientes a,b,c,d\in\mathbb{R} tais que
Resolvendo: de \beta=x-\alpha e \delta=y-\beta=y-x+\alpha. Da terceira \gamma=z-\delta=z-y+x-\alpha. Substituindo tudo na quarta leva a uma equação em \alpha que sempre admite solução real. Logo existem \alpha,\beta,\gamma,\delta para quaisquer x,y,z,w, o que mostra que \{A_1,A_2,A_3,A_4\} gera M_{2}(\mathbb{R}).
Resposta
Questão 21: \beta gera P_{3}(\mathbb{R}).
Questão 22: \{A_1,A_2,A_3,A_4\} gera M_{2}(\mathbb{R}).