Questão 21 Mostre que \beta=\left\{1-t,(1-t)^{2},(1-t)^{3}, 1\right\} gera P_{3}(\mathbb{R}).
Questão 22 Mostre que \left[\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right)\right]=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na Questão 21 precisamos mostrar que o conjunto \beta=\{\,1-t,\,(1-t)^2,\,(1-t)^3,\,1\}
gera o espaço vetorial P_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau até 3). Na Questão 22 precisamos mostrar que o conjunto
A_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad A_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad A_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \quad A_4=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
gera o espaço M_{2}(\mathbb{R}) (todas as matrizes 2\times2). Em ambos os casos usaremos a definição de gerador: mostrar que um elemento genérico do espaço pode ser escrito como combinação linear dos geradores dados.

Passo 2

Questão 21. Seja um polinômio genérico de grau <=3
p(t)=\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2+\alpha_3t^3.
Procuramos coeficientes a,b,c,d\in\mathbb{R} tais que
a(1-t)+b(1-t)^2+c(1-t)^3+d\cdot1 =\alpha_0+\alpha_1t+\alpha_2t^2+\alpha_3t^3.
Expandindo cada termo obtém-se
(1-t)=1-t, \quad (1-t)^2=1-2t+t^2, \quad (1-t)^3=1-3t+3t^2-t^3,
logo a combinação gera o polinômio cujos coeficientes satisfazem o sistema
\begin{cases} a+b+c+d=\alpha_0,\\\\ -\,a-2b-3c=\alpha_1,\\\ \quad b+3c=\alpha_2,\\\\ -\,c=\alpha_3. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema por substituição: da última equação c=-\alpha_3. Da terceira b=\alpha_2-3c=\alpha_2+3\alpha_3. Da segunda
a=-\bigl(\alpha_1+2b+3c\bigr) =-\alpha_1-2(\alpha_2+3\alpha_3)-3(-\alpha_3) =-\alpha_1-2\alpha_2-3\alpha_3.
Por fim, da primeira
d=\alpha_0-(a+b+c) =\alpha_0-(-\alpha_1-2\alpha_2-3\alpha_3+\alpha_2+3\alpha_3-\alpha_3).
Como encontramos solução para quaisquer \alpha_i, concluímos que \beta gera P_3(\mathbb{R}).

Passo 4

Questão 22. Seja uma matriz genérica
X=\begin{pmatrix}x & y\z & w\end{pmatrix}.
Procuramos escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3+\delta A_4 =\begin{pmatrix}x & y\z & w\end{pmatrix}.
Calculando a combinação:
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha+\beta & \beta+\delta\\\ \gamma+\delta & \alpha+\gamma+2\delta \end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=x,\\\ \beta+\delta=y,\\\ \gamma+\delta=z,\\\ \alpha+\gamma+2\delta=w. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo: de \beta=x-\alpha e \delta=y-\beta=y-x+\alpha. Da terceira \gamma=z-\delta=z-y+x-\alpha. Substituindo tudo na quarta leva a uma equação em \alpha que sempre admite solução real. Logo existem \alpha,\beta,\gamma,\delta para quaisquer x,y,z,w, o que mostra que \{A_1,A_2,A_3,A_4\} gera M_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

Questão 21: \beta gera P_{3}(\mathbb{R}).
Questão 22: \{A_1,A_2,A_3,A_4\} gera M_{2}(\mathbb{R}).

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