Questão 8 Seja P_{n}(\mathbb{R}) o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de P_{2}, com as operações usuais, são subespaços de P_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \in P_{2}(\mathbb{R}) ; a_{2}-a_{1}=2\right\}.

Passo 1

O enunciado fala sobre o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le2) e pede para verificar se
W = \{\,a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{2}-a_{1}=2\}
é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero \,0(t)=0+0\cdot t+0\cdot t^{2}
pertence a W. Para isso, checamos a condição
a_{2}-a_{1}=2.
Aqui a_{2}=0 e a_{1}=0, logo
a_{2}-a_{1}=0-0=0\neq2.
Portanto, o polinômio zero não pertence a W.

Passo 3

Como o polinômio zero não está em W, já concluímos que W não pode ser subespaço de P_{2}(\mathbb{R}), pois todo subespaço deve conter o vetor zero.

Passo 4

Opcionalmente, podemos ver também a falha na propriedade de fechamento sob soma: se \,p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}
e \,q(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}
são de W, então
a_{2}-a_{1}=2 \quad\text{e}\quad b_{2}-b_{1}=2.
Para a soma p+q temos
(a_{2}+b_{2}) - (a_{1}+b_{1}) =(a_{2}-a_{1})+(b_{2}-b_{1}) =2+2=4\neq2,
logo p+q\notin W.

Resposta

W não é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}).

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