Questão 8 Seja
o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a
, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de
, com as operações usuais, são subespaços de
.
.
Passo 1
O enunciado fala sobre o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e pede para verificar se
é subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se, satisfaz três propriedades:
- O vetor zero de
está em . -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero
pertence a . Para isso, checamos a condição
pertence a
Aqui
e
, logo
Portanto, o polinômio zero não pertence a
.
Passo 3
Como o polinômio zero não está em
, já concluímos que
não pode ser subespaço de
, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.
Passo 4
Opcionalmente, podemos ver também a falha na propriedade de fechamento sob soma: se
e
são de , então
e
são de
Para a soma
temos
logo
.