Questão 23 Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço vetorial mathbb{R}^{4}.
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x+y+z+t=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x + y + z + t = 0\}.
O conteúdo é achar uma base (ou geradores) de um hiperplano em \mathbb{R}^4, que tem dimensão 3. Para resolver, vamos parametrizar a condição x+y+z+t=0.

Passo 2

Da equação
x + y + z + t = 0
isolamos uma variável, por exemplo t:
t = -\,x - y - z.

Passo 3

Introduzimos parâmetros para x,y,z. Seja
x = u,\quad y = v,\quad z = w,
então
t = -\,u - v - w.
Logo um vetor genérico de W é
(u,\,v,\,w,\,-u - v - w).

Passo 4

Reescrevendo em combinação linear de u,v,w:
(u,\,v,\,w,\,-u - v - w) = u\,(1,0,0,-1) \;+\; v\,(0,1,0,-1)\;+\; w\,(0,0,1,-1).
Isso mostra que os vetores (1,0,0,-1), (0,1,0,-1) e (0,0,1,-1) geram W.

Resposta

Um conjunto de geradores de W é
\{(1,0,0,-1),\;(0,1,0,-1),\;(0,0,1,-1)\}.

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