Questão 8 Seja P_{n}(\mathbb{R}) o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de P_{2}, com as operações usuais, são subespaços de P_{2}(\mathbb{R}).
W=\left\{a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \in P_{2}(\mathbb{R}) ; a_{2}=2 a_{0}\right. e \left.a_{1}=0\right\}.

Passo 1

O enunciado define P_{2}(\mathbb{R}) como o espaço dos polinômios de grau <=2 com coeficientes reais e apresenta o subconjunto
W = \{\,a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid a_{2}=2a_{0}\text{ e }a_{1}=0\}.
Queremos verificar se W é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}). Para isso usamos o critério:
  1. W\neq\emptyset (contém o polinômio zero).
  2. Fechamento em soma.
  3. Fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio observando o polinômio zero. Tomando a_{0}=0, então a_{1}=0 e a_{2}=2\cdot0=0, obtemos o polinômio 0+0\cdot t+0\cdot t^{2}=0, que pertence a W. Logo, 0\in W.

Passo 3

Sejam
p(t)=a_{0}+0\cdot t+2a_{0}t^{2},\quad q(t)=b_{0}+0\cdot t+2b_{0}t^{2}
dois elementos de W. Então
p(t)+q(t) = (a_{0}+b_{0}) + 0\cdot t + 2(a_{0}+b_{0})\,t^{2}.
Aqui o coeficiente do termo t é zero e o coeficiente de t^{2} vale 2(a_{0}+b_{0}), que é duas vezes o coeficiente constante (a_{0}+b_{0}). Logo p+q\in W.

Passo 4

Seja c\in\mathbb{R} e p(t)=a_{0}+0\cdot t+2a_{0}t^{2} em W. Então
c\,p(t) = c\,a_{0} + 0\cdot t + 2(c\,a_{0})\,t^{2}.
O coeficiente do termo t continua zero e o coeficiente de t^{2} é 2(c\,a_{0}), que é duas vezes o coeficiente constante c\,a_{0}. Assim c\,p\in W.

Passo 5

Vimos que W contém o polinômio zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto W é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}). Note ainda que todo elemento de W é da forma
a_{0}(1+2t^{2}),
então \{\,1+2t^{2}\} é base de W e \dim W=1.

Resposta

W é subespaço de P_{2}(\mathbb{R}), de dimensão 1, com base \{\,1+2t^{2}\}.

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