Questão 8 Seja
o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a
, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de
, com as operações usuais, são subespaços de
.
e
.
Passo 1
O enunciado define
como o espaço dos polinômios de grau
com coeficientes reais e apresenta o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso usamos o critério:
-
(contém o polinômio zero). - Fechamento em soma.
- Fechamento em multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio observando o polinômio zero. Tomando
, então
e
, obtemos o polinômio
, que pertence a
. Logo,
.
Passo 3
Sejam
dois elementos de
. Então
Aqui o coeficiente do termo
é zero e o coeficiente de
vale
, que é duas vezes o coeficiente constante
. Logo
.
Passo 4
Seja
e
em
. Então
O coeficiente do termo
continua zero e o coeficiente de
é
, que é duas vezes o coeficiente constante
. Assim
.
Passo 5
Vimos que
contém o polinômio zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto
é subespaço de
. Note ainda que todo elemento de
é da forma
então
é base de
e
.