Resolva as equações, isto é, encontre o conjunto dos x in R que satisfaçam às equações:
|1+4 x|=1-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de valor absoluto |1+4x| = 1 - 2x para x in R. O tema aqui é equações com valor absoluto e vamos precisar usar a definição de |A| em dois casos (quando o argumento é não negativo e quando é negativo) além de garantir que o lado direito seja não negativo.

Passo 2

Primeiro, notamos que o lado direito 1 - 2x precisa ser maior ou igual a zero, pois o módulo é sempre não negativo. Logo,
1 - 2x >= 0 implies x <= tfrac12

Passo 3

Agora fazemos a análise em dois casos com base no sinal de 1+4x:
Caso 1: suponha 1 + 4x >= 0, ou seja, x >= -tfrac14. Então
|1+4x| = 1 + 4x
e a equação fica
1 + 4x = 1 - 2x

Passo 4

Resolvendo:
1 + 4x = 1 - 2x implies 6x = 0 implies x = 0

Passo 5

Verificamos as condições: 0 >= -tfrac14 e 0 <= tfrac12, ambas verdadeiras. Então x=0 é solução.

Passo 6

Caso 2: suponha 1 + 4x < 0, ou seja, x < -tfrac14. Então
|1+4x| = -(1 + 4x) = -1 - 4x,
e a equação fica
-1 - 4x = 1 - 2x

Passo 7

Resolvendo:
-1 - 4x = 1 - 2x implies -2x = 2 implies x = -1

Passo 8

Verificamos as condições: -1 < -tfrac14 e -1 <= tfrac12, ambas verdadeiras. Então x=-1 é solução.

Passo 9

Reunindo as soluções dos dois casos e respeitando a condição x <= tfrac12, obtemos o conjunto final.

Resposta

{ -1, 0 }

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