Questão 24 (PUC - RS)
O complexo z=2 \cdot\left(\cos \frac{11 \pi}{6}+\right. isen \left.\frac{11 \pi}{6}\right) escrito na forma algébrica a +bi é:
a) 2 \sqrt{3}+\mathrm{i}
b) -\sqrt{3}+\mathrm{i}
c) -\sqrt{3}-\mathrm{i}
d) \sqrt{3}-\mathrm{i}
e) 2 \sqrt{3}-\mathrm{i}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z na forma trigonométrica (ou forma polar) e pede que o escrevamos na forma algébrica a+bi. As informações fornecidas são:
  • z = 2\cdot\big(\cos \frac{11\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi}{6}\big).
  • Queremos encontrar a parte real a e a parte imaginária b para escrever z como a+\mathrm{i}b.
    Não há outras perguntas escondidas; só precisamos transformar essa expressão trigonométrica em a+\mathrm{i}b e ver qual alternativa corresponde.

Passo 2

Relembre a fórmula de conversão da forma polar/trigonométrica para a forma algébrica: se
z = r\big(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\big),
então a parte real a e a parte imaginária b são dadas por
a = r\cos\theta,\qquad b = r\sin\theta.
Aqui r é o módulo (distância ao origem) e \theta é o argumento (ângulo). A unidade imaginária é \mathrm{i} com a propriedade \mathrm{i}^2=-1. Essa é a regra que vamos aplicar diretamente.

Passo 3

Identificamos os parâmetros na expressão dada:
r = 2,\qquad \theta = \frac{11\pi}{6}.
Logo vamos calcular \cos\frac{11\pi}{6} e \sin\frac{11\pi}{6} e multiplicar cada um por 2.

Passo 4

Para avaliar \cos e \sin de \frac{11\pi}{6} use o ângulo referência. Note que \frac{11\pi}{6} está no quarto quadrante (próximo a 2\pi), e o ângulo referência é
2\pi - \frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6}.
No quarto quadrante o cosseno é positivo e o seno é negativo. Sabemos os valores no ângulo referência \frac{\pi}{6}:
\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
Portanto
\cos\frac{11\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\frac{11\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2:
a = r\cos\theta = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},
b = r\sin\theta = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -1.
Logo, na forma algébrica,
z = a + \mathrm{i}b = \sqrt{3} + \mathrm{i}(-1) = \sqrt{3}-\mathrm{i}.

Passo 6

Compare o resultado com as alternativas dadas: o resultado \sqrt{3}-\mathrm{i} corresponde à alternativa (d). Boa — você fez certinho! Se ficar nervoso na prova, lembre: identifique r e \theta, calcule \cos\theta e \sin\theta usando ângulo referência e sinais por quadrante, e multiplique por r.

Resposta

d) \sqrt{3}-\mathrm{i}

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