Questão 22. Calcule os determinantes a seguir usando as suas propriedades:
\left|\begin{array}{cccc}2 & 7 & 6 & 11 \\\\ -2 & 14 & 9 & 22 \\\\ 4 & 21 & 15 & 55 \\\\ 6 & 49 & 30 & 121\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
\left|\begin{array}{cccc} 2 & 7 & 6 & 11 \\\\ -2 & 14 & 9 & 22 \\\\ 4 & 21 & 15 & 55 \\\\ 6 & 49 & 30 & 121 \end{array}\right|.
Vou deixar claro: o objetivo é calcular o valor numérico desse determinante. As informações dadas são exatamente os elementos da matriz 4×4 acima. Nada mais é necessário.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar (de um jeito simples) as propriedades de determinantes que vou usar — isso é importante para fazer cálculos rápidos na prova:
  • Se a gente substituir uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha, o determinante NÃO muda. Em notação: R_i \leftarrow R_i + kR_j \Rightarrow \det inalterado.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c. Em notação: R_i \leftarrow cR_i \Rightarrow \det é multiplicado por c.
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
  • Se a matriz é triangular (todas as entradas abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou usar operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” para triangularizar a matriz — por ser a forma mais direta e preservar o determinante.

Passo 3

Começo eliminando as entradas da primeira coluna abaixo de R_1. Escrevo as linhas iniciais para referência:
R_1=[2\\\ 7\\\ 6\\\ 11],\quad R_2=[-2\\\ 14\\\ 9\\\ 22],\quad R_3=[4\\\ 21\\\ 15\\\ 55],\quad R_4=[6\\\ 49\\\ 30\\\ 121].
Faço as operações (cada operação do tipo R_i\leftarrow R_i + kR_1 não altera o determinante):
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Agora calculo cada nova linha:
  • R_2 = [-2+2,\\\ 14+7,\\\ 9+6,\\\ 22+11] = [0,\\\ 21,\\\ 15,\\\ 33].
  • R_3 = [4-2\cdot2,\\\ 21-2\cdot7,\\\ 15-2\cdot6,\\\ 55-2\cdot11] = [0,\\\ 7,\\\ 3,\\\ 33].
  • R_4 = [6-3\cdot2,\\\ 49-3\cdot7,\\\ 30-3\cdot6,\\\ 121-3\cdot11] = [0,\\\ 28,\\\ 12,\\\ 88].
A matriz ficou:
\begin{pmatrix} 2 & 7 & 6 & 11\\[4pt] 0 & 21 & 15 & 33\\[4pt] 0 & 7 & 3 & 33\\[4pt] 0 & 28 & 12 & 88 \end{pmatrix}.
O determinante permanece o mesmo do original.]

Passo 4

Agora elimino as entradas na segunda coluna abaixo de R_2. Para zerar o elemento 7 em R_3 e 28 em R_4, faço combinações do tipo R_i \leftarrow R_i - \lambda R_2. Essas operações também preservam o determinante. Os fatores são:
\lambda_3=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3},\qquad \lambda_4=\dfrac{28}{21}=\dfrac{4}{3}.
Faço:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{3}R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{4}{3}R_2.

Passo 5

Calculando as novas linhas:
  • Para R_3: R_3 = [0,\\\ 7,\\\ 3,\\\ 33] - \tfrac{1}{3}[0,\\\ 21,\\\ 15,\\\ 33] = [0,\\\ 0,\\\ 3-\tfrac{15}{3},\\\ 33-\tfrac{33}{3}] = [0,\\\ 0,\\\ 3-5,\\\ 33-11] = [0,\\\ 0,\\\ -2,\\\ 22].
  • Para R_4: R_4 = [0,\\\ 28,\\\ 12,\\\ 88] - \tfrac{4}{3}[0,\\\ 21,\\\ 15,\\\ 33] = [0,\\\ 0,\\\ 12-\tfrac{60}{3},\\\ 88-\tfrac{132}{3}] = [0,\\\ 0,\\\ 12-20,\\\ 88-44] = [0,\\\ 0,\\\ -8,\\\ 44].
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 2 & 7 & 6 & 11\\[4pt] 0 & 21 & 15 & 33\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 22\\[4pt] 0 & 0 & -8 & 44 \end{pmatrix}.
Determinante ainda inalterado.]

Passo 6

Finalmente, elimino o elemento abaixo de R_3 na terceira coluna. Como R_4 tem -8 e R_3 tem -2, faço
R_4 \leftarrow R_4 - 4R_3,
que preserva o determinante e zera a posição (4,3). Calculando:
R_4 = [0,\\\ 0,\\\ -8,\\\ 44] - 4[0,\\\ 0,\\\ -2,\\\ 22] = [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 44-88] = [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ -44].
Agora a matriz é triangular superior:
\begin{pmatrix} 2 & 7 & 6 & 11\\[4pt] 0 & 21 & 15 & 33\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 22\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -44 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Como a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja,
\det = 2 \cdot 21 \cdot (-2) \cdot (-44).
Faço as contas passo a passo:
2\cdot21 = 42,\qquad 42\cdot(-2) = -84,\qquad -84\cdot(-44)=84\cdot44.
Calculo 84\cdot44 por partes: 84\cdot44 = 84\cdot(40+4)=84\cdot40 + 84\cdot4 = 3360 + 336 = 3696.
Portanto o valor do determinante é 3696.

Resposta

3696

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