Vou deixar claro: o objetivo é calcular o valor numérico desse determinante. As informações dadas são exatamente os elementos da matriz 4×4 acima. Nada mais é necessário.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar (de um jeito simples) as propriedades de determinantes que vou usar — isso é importante para fazer cálculos rápidos na prova:
Se a gente substituir uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha, o determinante NÃO muda. Em notação: R_i \leftarrow R_i + kR_j \Rightarrow \det inalterado.
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c. Em notação: R_i \leftarrow cR_i \Rightarrow \det é multiplicado por c.
Trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
Se a matriz é triangular (todas as entradas abaixo ou acima da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vou usar operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” para triangularizar a matriz — por ser a forma mais direta e preservar o determinante.
Passo 3
Começo eliminando as entradas da primeira coluna abaixo de R_1. Escrevo as linhas iniciais para referência:
Agora elimino as entradas na segunda coluna abaixo de R_2. Para zerar o elemento 7 em R_3 e 28 em R_4, faço combinações do tipo R_i \leftarrow R_i - \lambda R_2. Essas operações também preservam o determinante. Os fatores são: