A matriz é 3\times3 com entradas fornecidas explicitamente (cada número mostrado acima).
Deve-se usar propriedades de determinantes (ou seja, operações sobre colunas/linhas e fatoração por constantes) para simplificar o cálculo.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades importantes de determinantes que usaremos (explicadas de forma didática):
Operação entre colunas que preserva determinante: substituir uma coluna por ela menos outra coluna não altera o valor do determinante. Formalmente, se C_i é uma coluna, então trocar C_i por C_i-C_j deixa o determinante igual. Isso vem da linearidade e antissimetria do determinante.
Fator comum em uma coluna: se uma coluna inteira é multiplicada por uma constante k, o determinante é multiplicado por k. Assim, é possível “fatorar” constantes das colunas e tirá-las para fora do determinante.
Vou aplicar essas propriedades para simplificar a matriz passo a passo.
Passo 3
Faço as operações de coluna (que preservam o determinante):
C_1 \leftarrow C_1 - C_2,
C_2 \leftarrow C_2 - C_3.
Aplicando em cada linha obtemos a nova matriz (o determinante permanece o mesmo):
Agora observe que a coluna C_1 da nova matriz tem todos os elementos múltiplos de 100, e C_2 tem todos os elementos múltiplos de 10. Podemos fatorar esses escalares:
Aqui usei a propriedade: fator 100 sai da primeira coluna e fator 10 sai da segunda coluna, multiplicando o determinante por 100\cdot10.
Passo 5
Antes de calcular o determinante reduzido, uma observação útil sobre dependência linear: se as colunas de uma matriz são linearmente dependentes, o determinante é zero. No caso da matriz reduzida note que
ou seja, existe uma combinação linear não trivial das colunas que resulta no vetor zero. Portanto as colunas são linearmente dependentes e o determinante da matriz reduzida deve ser zero.
Passo 6
Se preferir ver o cálculo direto do determinante da matriz reduzida por desenvolvimento (confirmação numérica):