Questão 22. Calcule os determinantes a seguir usando as suas propriedades:
\left|\begin{array}{lll}147 & 47 & 7 \\\\ 258 & 58 & 8 \\\\ 369 & 69 & 9\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
\left|\begin{array}{lll} 147 & 47 & 7 \\\\ 258 & 58 & 8 \\\\ 369 & 69 & 9 \end{array}\right|.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A matriz é 3\times3 com entradas fornecidas explicitamente (cada número mostrado acima).
  • Deve-se usar propriedades de determinantes (ou seja, operações sobre colunas/linhas e fatoração por constantes) para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades importantes de determinantes que usaremos (explicadas de forma didática):
  1. Operação entre colunas que preserva determinante: substituir uma coluna por ela menos outra coluna não altera o valor do determinante. Formalmente, se C_i é uma coluna, então trocar C_i por C_i-C_j deixa o determinante igual. Isso vem da linearidade e antissimetria do determinante.
  2. Fator comum em uma coluna: se uma coluna inteira é multiplicada por uma constante k, o determinante é multiplicado por k. Assim, é possível “fatorar” constantes das colunas e tirá-las para fora do determinante.
Vou aplicar essas propriedades para simplificar a matriz passo a passo.

Passo 3

Faço as operações de coluna (que preservam o determinante):
  • C_1 \leftarrow C_1 - C_2,
  • C_2 \leftarrow C_2 - C_3.
Aplicando em cada linha obtemos a nova matriz (o determinante permanece o mesmo):
\left|\begin{array}{lll} 147 & 47 & 7 \\\\ 258 & 58 & 8 \\\\ 369 & 69 & 9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} 147-47 & 47-7 & 7 \\\\ 258-58 & 58-8 & 8 \\\\ 369-69 & 69-9 & 9 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} 100 & 40 & 7 \\\\ 200 & 50 & 8 \\\\ 300 & 60 & 9 \end{array}\right|.

Passo 4

Agora observe que a coluna C_1 da nova matriz tem todos os elementos múltiplos de 100, e C_2 tem todos os elementos múltiplos de 10. Podemos fatorar esses escalares:
\left|\begin{array}{lll} 100 & 40 & 7 \\\\ 200 & 50 & 8 \\\\ 300 & 60 & 9 \end{array}\right| =100\cdot 10\, \left|\begin{array}{lll} 1 & 4 & 7 \\\\ 2 & 5 & 8 \\\\ 3 & 6 & 9 \end{array}\right| =1000\, \left|\begin{array}{lll} 1 & 4 & 7 \\\\ 2 & 5 & 8 \\\\ 3 & 6 & 9 \end{array}\right|.
Aqui usei a propriedade: fator 100 sai da primeira coluna e fator 10 sai da segunda coluna, multiplicando o determinante por 100\cdot10.

Passo 5

Antes de calcular o determinante reduzido, uma observação útil sobre dependência linear: se as colunas de uma matriz são linearmente dependentes, o determinante é zero. No caso da matriz reduzida note que
\begin{aligned} &C_2 - C_1 = \begin{pmatrix}4\\\ 5\\\ 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix},\\\ &C_3 - C_2 = \begin{pmatrix}7\\\ 8\\\ 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\\ 5\\\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix}. \end{aligned}
Como C_3-C_2=C_2-C_1, temos
C_1 - 2C_2 + C_3 = 0,
ou seja, existe uma combinação linear não trivial das colunas que resulta no vetor zero. Portanto as colunas são linearmente dependentes e o determinante da matriz reduzida deve ser zero.

Passo 6

Se preferir ver o cálculo direto do determinante da matriz reduzida por desenvolvimento (confirmação numérica):
\left|\begin{array}{lll} 1 & 4 & 7 \\\\ 2 & 5 & 8 \\\\ 3 & 6 & 9 \end{array}\right| =1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-4\cdot(2\cdot9-3\cdot8)+7\cdot(2\cdot6-3\cdot5).
Calculemos cada termo:
5\cdot9-6\cdot8=45-48=-3,
2\cdot9-3\cdot8=18-24=-6,
2\cdot6-3\cdot5=12-15=-3.
Substituindo:
1\cdot(-3)-4\cdot(-6)+7\cdot(-3)=-3+24-21=0.
Confirmado: o determinante da matriz reduzida é 0.

Passo 7

Voltando ao determinante original, lembrando que ele vale 1000 vezes o determinante da matriz reduzida, obtemos
\left|\begin{array}{lll} 147 & 47 & 7 \\\\ 258 & 58 & 8 \\\\ 369 & 69 & 9 \end{array}\right| =1000\cdot 0 = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados