Questão 22. Calcule os determinantes a seguir usando as suas propriedades:
\left|\begin{array}{llll}3 & 2 & 4 & 3 \\\\ 5 & 7 & 2 & 4 \\\\ 2 & 4 & 5 & 3 \\\\ 2 & 3 & 0 & 7\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz 4\times4
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 3\\[4pt] 5 & 7 & 2 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 5 & 3\\[4pt] 2 & 3 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz A é a matriz exatamente acima (peguei todos os seus elementos do enunciado).
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico de \det(A).]

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): vou usar operações elementares sobre linhas que não alteram o determinante (ou cujo efeito é fácil de controlar), para transformar a matriz numa forma em que o cálculo do determinante fique simples (por exemplo, usando expansão por cofatores numa primeira linha/coluna com muitos zeros). Lembrete das propriedades que vou usar:
  • A operação R_i \leftarrow R_i + kR_j (adicionar a um linha um múltiplo de outra) não altera o determinante.
  • Se eu fatorar um escalar c de uma linha, o determinante é multiplicado por c; inversamente, se uma linha tem fator 1/3, posso escrever a linha como (1/3) vezes uma linha inteira e isso dá um fator global (1/3) no determinante.
  • Para uma matriz com uma coluna com apenas um elemento não-nulo, a expansão por cofatores reduz o determinante a esse elemento vezes o determinante do submatriz correspondente.
    Também vou usar a fórmula direta de determinante de 3\times3 quando necessário:
\det\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).]

Passo 3

Primeira etapa de eliminação: elimino as entradas abaixo do pivô \,3 da primeira coluna usando operações do tipo R_i\leftarrow R_i-\frac{\text{entrada}}{3}R_1. Essas operações não mudam o determinante.
Aplicando:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2-\tfrac{5}{3}R_1,\\[4pt] R_3 &\leftarrow R_3-\tfrac{2}{3}R_1,\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4-\tfrac{2}{3}R_1. \end{aligned}
Calculando cada nova linha (faço cada subtração coordenada a coordenada):
Para R_2:
R_2-(5/3)R_1 = \bigl(5,7,2,4\bigr)-\bigl(5,\tfrac{10}{3},\tfrac{20}{3},5\bigr) =\bigl(0,\tfrac{11}{3},-\tfrac{14}{3},-1\bigr).
Para R_3:
R_3-(2/3)R_1 = \bigl(2,4,5,3\bigr)-\bigl(2,\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3},2\bigr) =\bigl(0,\tfrac{8}{3},\tfrac{7}{3},1\bigr).
Para R_4:
R_4-(2/3)R_1 = \bigl(2,3,0,7\bigr)-\bigl(2,\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3},2\bigr) =\bigl(0,\tfrac{5}{3},-\tfrac{8}{3},5\bigr).
A matriz obtida (após essas operações, que preservam o determinante) é
M=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{11}{3} & -\tfrac{14}{3} & -1\\[4pt] 0 & \tfrac{8}{3} & \tfrac{7}{3} & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{8}{3} & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para evitar frações nas linhas 2, 3 e 4, fatoro \tfrac{1}{3} de cada uma dessas três linhas. Escrevendo cada linha como \tfrac{1}{3} vezes uma linha inteira, obtenho uma matriz inteira B com
M=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 3\\[4pt] \tfrac{1}{3}(0 & 11 & -14 & -3)\\[4pt] \tfrac{1}{3}(0 & 8 & 7 & 3)\\[4pt] \tfrac{1}{3}(0 & 5 & -8 & 15) \end{pmatrix}.
Extraindo os fatores, como foi extraída a fração \tfrac{1}{3} de três linhas, tem-se
\det(M)=\left(\tfrac{1}{3}\right)^3\det(B)=\tfrac{1}{27}\det(B),
onde
B=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 3\\[4pt] 0 & 11 & -14 & -3\\[4pt] 0 & 8 & 7 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -8 & 15 \end{pmatrix}.
Lembrando que as operações usadas para obter M a partir de A não alteraram o determinante, temos \det(A)=\det(M). Logo
\det(A)=\tfrac{1}{27}\det(B).]

Passo 5

Agora observe B: a primeira coluna tem apenas o elemento 3 na primeira fila e zeros nas demais. Assim podemos expandir por cofatores na primeira coluna:
\det(B)=3\cdot\det\text{(C)},
onde C é a submatriz 3\times3 obtida eliminando a linha 1 e a coluna 1 de B:
C=\begin{pmatrix} 11 & -14 & -3\\[4pt] 8 & 7 & 3\\[4pt] 5 & -8 & 15 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calculo \det\text{(C)} usando a fórmula de 3\times3:
\det\text{(C)}=11\bigl(7\cdot15-3\cdot(-8)\bigr) -(-14)\bigl(8\cdot15-3\cdot5\bigr) +(-3)\bigl(8\cdot(-8)-7\cdot5\bigr).
Faço cada produto:
7\cdot15=105,\qquad 3\cdot(-8)=-24,\qquad 105-(-24)=129,
logo 11\cdot129=1419.
Próximo termo:
8\cdot15=120,\qquad 3\cdot5=15,\qquad 120-15=105,
e -(-14)\cdot105=14\cdot105=1470.
Último termo:
8\cdot(-8)=-64,\qquad 7\cdot5=35,\qquad -64-35=-99,
e (-3)\cdot(-99)=297.
Somando:
\det\text{(C)}=1419+1470+297=3186.

Passo 7

Voltando:
\det(B)=3\cdot\det\text{(C)}=3\cdot3186=9558.
E então, usando \det(A)=\tfrac{1}{27}\det(B),
\det(A)=\tfrac{1}{27}\cdot9558=\tfrac{9558}{27}=354.

Resposta

354

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