A matriz A é a matriz exatamente acima (peguei todos os seus elementos do enunciado).
O que se pede:
Calcular o valor numérico de \det(A).]
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): vou usar operações elementares sobre linhas que não alteram o determinante (ou cujo efeito é fácil de controlar), para transformar a matriz numa forma em que o cálculo do determinante fique simples (por exemplo, usando expansão por cofatores numa primeira linha/coluna com muitos zeros). Lembrete das propriedades que vou usar:
A operação R_i \leftarrow R_i + kR_j (adicionar a um linha um múltiplo de outra) não altera o determinante.
Se eu fatorar um escalar c de uma linha, o determinante é multiplicado por c; inversamente, se uma linha tem fator 1/3, posso escrever a linha como (1/3) vezes uma linha inteira e isso dá um fator global (1/3) no determinante.
Para uma matriz com uma coluna com apenas um elemento não-nulo, a expansão por cofatores reduz o determinante a esse elemento vezes o determinante do submatriz correspondente.
Também vou usar a fórmula direta de determinante de 3\times3 quando necessário:
\det\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).]
Passo 3
Primeira etapa de eliminação: elimino as entradas abaixo do pivô \,3 da primeira coluna usando operações do tipo R_i\leftarrow R_i-\frac{\text{entrada}}{3}R_1. Essas operações não mudam o determinante.
Aplicando:
Para evitar frações nas linhas 2, 3 e 4, fatoro \tfrac{1}{3} de cada uma dessas três linhas. Escrevendo cada linha como \tfrac{1}{3} vezes uma linha inteira, obtenho uma matriz inteira B com
Lembrando que as operações usadas para obter M a partir de A não alteraram o determinante, temos \det(A)=\det(M). Logo
\det(A)=\tfrac{1}{27}\det(B).]
Passo 5
Agora observe B: a primeira coluna tem apenas o elemento 3 na primeira fila e zeros nas demais. Assim podemos expandir por cofatores na primeira coluna:
\det(B)=3\cdot\det\text{(C)},
onde C é a submatriz 3\times3 obtida eliminando a linha 1 e a coluna 1 de B: