Questão 24 (FIJAS - UNI). Classifique em verdadeiro(V) ou falso(F) as seguintes afirmações:
i) Sejam A e B matrizes de ordem n, então existe n tal que \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).
ii) Se existe \operatorname{det}(A B) então existe \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B).
iii) Seja A uma matriz de ordem n com \operatorname{det}(A)=1 então A=I_{n}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado apresenta três afirmações que devemos classificar como verdadeiro (V) ou falso (F):
i) Sejam A e B matrizes de ordem n, então existe n tal que \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).
ii) Se existe \operatorname{det}(A B) então existe \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B).
iii) Seja A uma matriz de ordem n com \operatorname{det}(A)=1 então A=I_{n}.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que precisamos lembrar antes de resolver):
\operatorname{det}(M) está definido para matrizes quadradas (ordem n\times n).
Há propriedades importantes do determinante que podem ser usadas: por exemplo \operatorname{det}(cA)=c^{n}\operatorname{det}(A) para A de ordem n e escalar c, e \operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}(B) quando A e B são quadradas da mesma ordem.
Agora começo a analisar cada afirmação passo a passo.
Passo 2
Análise da afirmação (i). Antes do contraexemplo, vamos entender uma propriedade importante do determinante que é frequentemente confundida com linearidade.
Aula curta: o determinante não é linear na matriz inteira. O que vale é multilinear nas colunas (ou nas linhas) — isso significa que, fixadas as demais colunas, o determinante é linear na coluna considerada. Mas isso NÃO implica que
em geral. Em contraste, para escalares (n=1) a igualdade acima vale porque o determinante de uma matriz 1\times1 é simplesmente o número dessa entrada.
Também útil: se A é n\times n e c é escalar, então
Isso vem do fato de que multiplicar uma matriz por c multiplica cada coluna por c e, por multilinearidade, isso gera um fator c por coluna, totalizando c^{n}.
Passo 3
Contraexemplo para (i) e conclusão. Considere n=2 e as matrizes
Portanto \operatorname{det}(A+B)\neq\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) neste exemplo, o que prova que a afirmação “para matrizes de ordem n vale sempre” é falsa.
Observação didática e importante: existe uma exceção trivial — para n=1 (matrizes 1\times1, isto é, números), o determinante é exatamente o número, então \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) para todo A,B. Mas a afirmação dada, tomada no sentido habitual (“vale para matrizes n\times n em geral”), é falsa.]
Passo 4
Análise da afirmação (ii). Primeiro, lembrar quando \operatorname{det}(\cdot) está definido: \operatorname{det}(M) só existe se M for quadrada. A afirmação diz: se existe \operatorname{det}(AB) então existe \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B). Aqui há um ponto sutil sobre dimensões: é possível que AB seja quadrada mesmo que A e B individualmente não sejam quadradas.
Contraexemplo concreto (dimensões diferentes): tome
então \operatorname{det}(AB)=1 existe. Porém \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B) não existem porque A e B não são quadradas. Assim a afirmação é falsa no enunciado dado.
Comentário adicional (quando a afirmação seria verdadeira): se o contexto já pressupõe que A e B são quadradas da mesma ordem, então \operatorname{det}(AB) existe e de fato vale
então nesse contexto a existência de \operatorname{det}(AB) implica que \operatorname{det}(A) e \operatorname{det}(B) existem (por serem quadradas). Mas como o enunciado não exige que A e B sejam quadradas, a afirmação geral é falsa.]
Passo 5
Análise da afirmação (iii). A afirmativa diz que, se \operatorname{det}(A)=1, então A é necessariamente a matriz identidade I_{n}. Vamos desmentir com um contraexemplo simples.
Lembrete: o determinante de uma matriz é o produto dos seus autovalores (contados com multiplicidade). Portanto o fato de o produto dos autovalores ser 1 não obriga cada autovalor a ser 1 — muitos autovalores diferentes podem multiplicar para 1. Assim ter \operatorname{det}(A)=1 apenas diz que o produto dos autovalores é 1, não que todos os autovalores sejam 1 nem que A seja I_{n}.
Contraexemplo explícito (rotação em 2\times2): considere
R=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculando o determinante,
\operatorname{det}(R)=0\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1.
Mas R\neq I_{2} (é uma rotação de 90^\circ). Logo existe matriz com determinante 1 que não é a identidade; a afirmação é falsa.
Exemplo extra: qualquer matriz triangular com diagonal entries cujo produto é 1 terá determinante 1 sem precisar ser a identidade (por exemplo, \begin{pmatrix}2 & *\\[4pt]0 & \tfrac12\end{pmatrix} tem determinante 1 se * for qualquer número).]
Passo 6
Resumo didático rápido para fixar:
Determinante não é linear em relação à soma de matrizes (apenas multilinear nas colunas); por isso (i) é falsa em geral, embora para n=1 a igualdade trivialmente valha.
Determinante só existe para matrizes quadradas; o fato de \operatorname{det}(AB) existir não força A e B a serem quadradas (podem ter dimensões compatíveis), então (ii) é falsa no enunciado geral.
\operatorname{det}(A)=1 apenas fixa o produto dos autovalores; muitos matrices não-identidade têm determinante 1, então (iii) é falsa.
Força aí — essas pegadinhas sobre determinante aparecem muito em prova. Agora eu coloco só as respostas finais em uma linha cada uma, como você pediu.