Questão 23. Sejam
e
matrizes quadradas de ordem 3 tais que
e
, então qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado pede o valor de
. As informações dadas são:
-
e são matrizes quadradas de ordem . -
. -
.
O que se deve calcular é o determinante do produto das três matrizes mostradas:
,
e
.
Passo 2
Vamos recordar propriedades que usaremos (explicadas de forma direta e sem pular etapas):
- Determinante do inverso: para uma matriz invertível
de ordem ,
Isto vem de
.
- Determinante de produto: para matrizes quadradas
e da mesma ordem,
Logo o determinante do produto das três matrizes é o produto dos determinantes delas.
- Escalar multiplicando matriz: se
é escalar e é ,
Isto porque cada coluna (ou linha) é multiplicada por
, e há
colunas.
- Propriedade do adjunto (adjugate): para matriz
de ordem invertível vale
Multiplicando à direita por
obtém-se
A partir daí, tomando determinantes:
Portanto, para uma matriz
,
Como aqui
, sempre que precisarmos de
usaremos a potência
.
Passo 3
Calcular
. Usando a propriedade (1):
Passo 4
Calcular
. Pela propriedade do adjunto (4) com
,
E
. Logo
Passo 5
Calcular
.
Primeiro ache
. Pelo item (3) com
,
Agora, usando a fórmula do adjunto (4) com
,
Passo 6
Usar que o determinante do produto é o produto dos determinantes. Assim
Agora simplificamos:
Dividindo numerador e denominador por
: