Questão 23. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 tais que \operatorname{det} A=3 e \operatorname{det} B=2, então qual o valor de \operatorname{det}\left(A^{-1} \cdot \operatorname{adj}\left(B^{-1}\right) \cdot \operatorname{adj}\left(2 A^{-1}\right)\right) ?

Passo 1

O enunciado pede o valor de \operatorname{det}\!\bigl(A^{-1}\cdot\operatorname{adj}(B^{-1})\cdot\operatorname{adj}(2A^{-1})\bigr). As informações dadas são:
  • A e B são matrizes quadradas de ordem 3.
  • \operatorname{det} A = 3.
  • \operatorname{det} B = 2.
O que se deve calcular é o determinante do produto das três matrizes mostradas: A^{-1}, \operatorname{adj}(B^{-1}) e \operatorname{adj}(2A^{-1}).

Passo 2

Vamos recordar propriedades que usaremos (explicadas de forma direta e sem pular etapas):
  1. Determinante do inverso: para uma matriz invertível M de ordem n,
\operatorname{det}(M^{-1}) = \bigl(\operatorname{det} M\bigr)^{-1}.
Isto vem de \operatorname{det}(M) \operatorname{det}(M^{-1}) = \operatorname{det}(I)=1.
  1. Determinante de produto: para matrizes quadradas X e Y da mesma ordem,
\operatorname{det}(XY) = \operatorname{det} X \cdot \operatorname{det} Y.
Logo o determinante do produto das três matrizes é o produto dos determinantes delas.
  1. Escalar multiplicando matriz: se c é escalar e M é n\times n,
\operatorname{det}(cM) = c^{n}\operatorname{det} M.
Isto porque cada coluna (ou linha) é multiplicada por c, e há n colunas.
  1. Propriedade do adjunto (adjugate): para matriz M de ordem n invertível vale
M\cdot\operatorname{adj}(M)=\operatorname{det}(M)\,I.
Multiplicando à direita por M^{-1} obtém-se
\operatorname{adj}(M)=\operatorname{det}(M)\,M^{-1}.
A partir daí, tomando determinantes:
\operatorname{det}\bigl(\operatorname{adj}(M)\bigr)=\operatorname{det}\bigl(\operatorname{det}(M)\,M^{-1}\bigr) =\operatorname{det}(M)^{n}\operatorname{det}(M^{-1}) =\operatorname{det}(M)^{n-1}.
Portanto, para uma matriz n\times n,
\operatorname{det}\bigl(\operatorname{adj}(M)\bigr)=\bigl(\operatorname{det}M\bigr)^{\,n-1}.
Como aqui n=3, sempre que precisarmos de \operatorname{det}(\operatorname{adj}(\cdot)) usaremos a potência 2.

Passo 3

Calcular \operatorname{det}(A^{-1}). Usando a propriedade (1):
\operatorname{det}(A^{-1})=\bigl(\operatorname{det}A\bigr)^{-1}=\bigl(3\bigr)^{-1}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Calcular \operatorname{det}\!\bigl(\operatorname{adj}(B^{-1})\bigr). Pela propriedade do adjunto (4) com n=3,
\operatorname{det}\!\bigl(\operatorname{adj}(B^{-1})\bigr)=\bigl(\operatorname{det}(B^{-1})\bigr)^{\,2}.
E \operatorname{det}(B^{-1})=(\operatorname{det}B)^{-1}=(2)^{-1}=\frac{1}{2}. Logo
\operatorname{det}\!\bigl(\operatorname{adj}(B^{-1})\bigr)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Calcular \operatorname{det}\!\bigl(\operatorname{adj}(2A^{-1})\bigr).
Primeiro ache \operatorname{det}(2A^{-1}). Pelo item (3) com n=3,
\operatorname{det}(2A^{-1}) = 2^{3}\operatorname{det}(A^{-1}) = 8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}.
Agora, usando a fórmula do adjunto (4) com n=3,
\operatorname{det}\!\bigl(\operatorname{adj}(2A^{-1})\bigr)=\bigl(\operatorname{det}(2A^{-1})\bigr)^{2}=\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}.

Passo 6

Usar que o determinante do produto é o produto dos determinantes. Assim
\begin{aligned} \operatorname{det}\!\bigl(A^{-1}\cdot\operatorname{adj}(B^{-1})\cdot\operatorname{adj}(2A^{-1})\bigr) &=\operatorname{det}(A^{-1})\cdot\operatorname{det}\!\bigl(\operatorname{adj}(B^{-1})\bigr)\cdot\operatorname{det}\!\bigl(\operatorname{adj}(2A^{-1})\bigr)\\[4pt] &=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{64}{9}. \end{aligned}
Agora simplificamos:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{64}{9}=\frac{64}{3\cdot4\cdot9}=\frac{64}{108}.
Dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{64}{108}=\frac{16}{27}.]

Resposta

\dfrac{16}{27}

Exercícios relacionados