Questão 2 (Questão 22-Matemática 2-ASON-2014). Seja A R^2 R^2 umatransformaçãolinear definida por A(x, y)=(x+2 y, 4 y- x). A soma dos autovalores de A é dada por:
a) -5
b) -1
c) 0
d) 1
e) 5

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Acolon R^2toR^2 definida por
A(x,y) = (,x+2y,;4y - x,)
e pede a soma dos autovalores de A. Para resolver, vamos escrever a matriz da transformação no base padrão e usar a propriedade de que a soma dos autovalores de uma matriz é igual à sua traça.

Passo 2

Escrevendo A no base canônica (1,0),(0,1), temos
A(1,0) = (1,-1), A(0,1) = (2,4),
logo a matriz associada é
M = 1 & 2 -1 & 4

Passo 3

Uma propriedade fundamental de autovalores é que, para qualquer matriz quadrada, a soma dos autovalores (contados com multiplicidade) é igual à traça da matriz, ou seja, à soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Calculamos a traça de M:
tr(M) = 1 + 4 = 5
Portanto, a soma dos autovalores de A é 5.

Resposta

e) 5

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