Questão 2: ( \mathbf{4 0} Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
a) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}.
Informações dadas/úteis:
  • A função está escrita em termos do logaritmo natural \ln x.
  • Domínio natural: x>0 (porque \ln x só está definido para x>0).
  • Também é preciso evitar 1+\ln x=0, isto é x\neq e^{-1}, porque aí o denominador se anula.
  • Objetivo: calcular f'(x) e simplificar o resultado.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicada de forma didática): a regra do quociente. Se tivermos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0, então a derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador da fração,
  • v(x) é o denominador,
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.
    A regra vem da combinação da regra da soma, produto e derivada de recíproco; é uma fórmula padrão para provas e para a prova (literalmente).
Também vamos usar a derivada conhecida:
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}\qquad (x>0).

Passo 3

Identificamos u(x) e v(x) e calculamos suas derivadas:
u(x)=1-\ln x,\qquad v(x)=1+\ln x.
Derivando termo a termo:
u'(x)=0-\frac{1}{x}=-\frac{1}{x}, \qquad v'(x)=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}.
Explicação curta: a derivada de 1 é 0 e a derivada de \ln x é 1/x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{\left(-\dfrac{1}{x}\right)\!(1+\ln x)-(1-\ln x)\!\left(\dfrac{1}{x}\right)}{(1+\ln x)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo. Colocando 1/x em evidência:
\text{numerador}=\frac{1}{x}\Big[-(1+\ln x)-(1-\ln x)\Big].
Dentro dos colchetes:
-(1+\ln x)-(1-\ln x) = -1-\ln x-1+\ln x = -2.
Portanto o numerador vira
\frac{1}{x}\cdot(-2)=-\frac{2}{x}.

Passo 5

Substituindo o numerador simplificado na fórmula:
f'(x)=\frac{-\dfrac{2}{x}}{(1+\ln x)^{2}}.
Isso se simplifica para
f'(x)=-\frac{2}{x(1+\ln x)^{2}}.
Essa é a forma mais compacta e já bem simplificada.

Passo 6

Uma visão alternativa (útil para a prova, menor cálculo): faça a substituição L=\ln x. Então \dfrac{dL}{dx}=1/x e a função fica f(L)=\dfrac{1-L}{1+L}. Derivando em relação a L:
\frac{df}{dL}=\frac{-(1+L)-(1-L)}{(1+L)^2}=\frac{-2}{(1+L)^2}.
Usando a regra da cadeia \dfrac{df}{dx}=\dfrac{df}{dL}\cdot\dfrac{dL}{dx} obtemos novamente
f'(x)=-\frac{2}{(1+\ln x)^{2}}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{2}{x(1+\ln x)^{2}}.
Essa ideia (substituir L=\ln x) é prática quando a expressão depende só de \ln x.

Passo 7

Resumo sobre domínio e cautela na prova:
  • A derivada vale para x>0 e x\neq e^{-1}.
  • Em x=e^{-1} a função não está definida (denominador zero), então não faz sentido falar em derivada aí.

Resposta

-\dfrac{2}{x(1+\ln x)^{2}}

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