Questão 2: (
Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
a) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}
a) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas/úteis:
- A função está escrita em termos do logaritmo natural
. - Domínio natural:
(porque só está definido para ). - Também é preciso evitar
, isto é , porque aí o denominador se anula. - Objetivo: calcular
e simplificar o resultado.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicada de forma didática): a regra do quociente. Se tivermos duas funções
e
com
, então a derivada de
é
Aqui:
-
é o numerador da fração, -
é o denominador, -
e são as derivadas de e .
A regra vem da combinação da regra da soma, produto e derivada de recíproco; é uma fórmula padrão para provas e para a prova (literalmente).
Também vamos usar a derivada conhecida:
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas:
Derivando termo a termo:
Explicação curta: a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador passo a passo. Colocando
em evidência:
Dentro dos colchetes:
Portanto o numerador vira
Passo 5
Substituindo o numerador simplificado na fórmula:
Isso se simplifica para
Essa é a forma mais compacta e já bem simplificada.
Passo 6
Uma visão alternativa (útil para a prova, menor cálculo): faça a substituição
. Então
e a função fica
. Derivando em relação a
:
Usando a regra da cadeia
obtemos novamente
Essa ideia (substituir
) é prática quando a expressão depende só de
.
Passo 7
Resumo sobre domínio e cautela na prova:
- A derivada vale para
e . - Em
a função não está definida (denominador zero), então não faz sentido falar em derivada aí.