Questão 25 (UFPA)
A forma trigonométrica do número complexo z=\frac{1+i}{i} é:
a) \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}-\mathrm{isen} \frac{\pi}{4}\right)
b) \sqrt{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{4}+\mathrm{i} \operatorname{sen} \frac{5 \pi}{4}\right)
c) \sqrt{2}\left(\cos \frac{7 \pi}{4}+\mathrm{i} \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{4}\right)
d) \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+\mathrm{i} \operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right)
e) \sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+\mathrm{i} \operatorname{sen} \frac{3 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=\dfrac{1+i}{i} e pede a sua forma trigonométrica, apresentando cinco alternativas (a) a (e). Informação relevante: a expressão inicial é z=\dfrac{1+i}{i}. A tarefa é calcular o módulo |z| e o argumento \theta de z e escrever z como |z|(\cos\theta+\mathrm{i}\operatorname{sen}\theta).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar algebricamente z=\dfrac{1+i}{i}. Note que \dfrac{1}{i} = -\mathrm{i} porque i\cdot(-\mathrm{i}) = -\mathrm{i}^2 = -(-1)=1. Portanto
z=\dfrac{1+i}{i}=(1+i)\cdot\left(\dfrac{1}{i}\right)=(1+i)\cdot(-\mathrm{i}).

Passo 3

Fazendo a multiplicação por -\mathrm{i}:
(1+i)\cdot(-\mathrm{i}) = 1\cdot(-\mathrm{i}) + i\cdot(-\mathrm{i}) = -\mathrm{i} - \mathrm{i}^2.
Como \mathrm{i}^2=-1, temos
-\mathrm{i}-\mathrm{i}^2 = -\mathrm{i}-(-1)= -\mathrm{i}+1 = 1-\mathrm{i}.
Logo z=1-\mathrm{i}.

Passo 4

Agora calculamos o módulo |z|. Para um complexo x+\mathrm{i}y, o módulo é \sqrt{x^2+y^2}. Aqui x=1 e y=-1, então
|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Breve explicação: o módulo é a distância do ponto (x,y) à origem no plano complexo.

Passo 5

Para o argumento \theta usamos \theta=\operatorname{atan2}(y,x) (geometricamente, \theta é o ângulo do vetor (x,y) com o eixo x). Calculamos a tangente:
\tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{-1}{1}=-1.
A arctangente de -1 é -\dfrac{\pi}{4} (valor principal). Como x>0 e y<0, o ponto (1,-1) está no quadrante IV, onde o argumento principal realmente é \theta=-\dfrac{\pi}{4}. Uma forma equivalente, usando ângulo positivo em [0,2\pi), é
\theta = 2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}.

Passo 6

Portanto a forma trigonométrica é
z=|z|\big(\cos\theta+\mathrm{i}\operatorname{sen}\theta\big)=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\operatorname{sen}\frac{7\pi}{4}\right).
Também poderia ser escrita com \theta=-\dfrac{\pi}{4}, mas entre as alternativas aparece \dfrac{7\pi}{4}, que é equivalente.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com a forma obtida é a alternativa (c):
\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\operatorname{sen}\frac{7\pi}{4}\right).

Passo 8

Pequena verificação intuitiva: \cos\frac{7\pi}{4}=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} e \operatorname{sen}\frac{7\pi}{4}=\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}. Multiplicando por \sqrt{2} obtemos 1-\mathrm{i}, que bate com z.

Resposta

c) \sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\operatorname{sen}\frac{7\pi}{4}\right)

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