Questão 25 (UFPA)
A forma trigonométrica do número complexo
é:
a)
b)
c)
d)
e)
A forma trigonométrica do número complexo
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede a sua forma trigonométrica, apresentando cinco alternativas (a) a (e). Informação relevante: a expressão inicial é
. A tarefa é calcular o módulo
e o argumento
de
e escrever
como
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar algebricamente
. Note que
porque
. Portanto
Passo 3
Fazendo a multiplicação por
:
Como
, temos
Logo
.
Passo 4
Agora calculamos o módulo
. Para um complexo
, o módulo é
. Aqui
e
, então
Breve explicação: o módulo é a distância do ponto
à origem no plano complexo.
Passo 5
Para o argumento
usamos
(geometricamente,
é o ângulo do vetor
com o eixo
). Calculamos a tangente:
A arctangente de
é
(valor principal). Como
e
, o ponto
está no quadrante IV, onde o argumento principal realmente é
. Uma forma equivalente, usando ângulo positivo em
, é
Passo 6
Portanto a forma trigonométrica é
Também poderia ser escrita com
, mas entre as alternativas aparece
, que é equivalente.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com a forma obtida é a alternativa (c):
Passo 8
Pequena verificação intuitiva:
e
. Multiplicando por
obtemos
, que bate com
.
Resposta
c)