Questão 23

Enunciado

Um número entre 1 e 200 é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele ser múltiplo de 4 ou de 6 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um inteiro escolhido ao acaso entre 1 e 200 ser múltiplo de 4 ou de 6. Aqui vamos usar o princípio da inclusão-exclusão em probabilidade, pois queremos Pr(Acup B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(Acap B), onde A = “múltiplo de 4” e B = “múltiplo de 6”.

Passo 2

Contamos quantos múltiplos de 4 há entre 1 e 200. Como o maior múltiplo de 4 não ultrapassa 200, temos
n4 = llfloor 2004rrfloor = 50

Passo 3

Contamos quantos múltiplos de 6 há entre 1 e 200. Analogamente,
n6 = llfloor 2006rrfloor = 33

Passo 4

Para subtrair a interseção (números que são múltiplos de ambos 4 e 6), usamos o mínimo múltiplo comum mcm(4,6)=12. Assim,
n12 = llfloor 20012rrfloor = 16

Passo 5

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o total de inteiros que são múltiplos de 4 ou de 6 é
n = n4 + n6 - n12 = 50 + 33 - 16 = 67

Passo 6

Como todos os 200 números são igualmente prováveis, a probabilidade pedida é
Pr = n200 = 67200

Resposta

67200

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