Questão 23

Enunciado

De quantas formas é possível organizar em fila 7 bolas vermelhas, 6 bolas azuis e 5 bolas verdes, de forma que nenhuma das bolas azuis fique ao lado de outra bola azul?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de 7 bolas vermelhas, 5 bolas verdes e 6 bolas azuis, de modo que nenhuma bola azul fique adjacente a outra bola azul. O conteúdo aqui é contagem de permutações com objetos repetidos e aplicação do método das lacunas para evitar adjacência.

Passo 2

Primeiro organizamos as bolas não-azuis (vermelhas e verdes). São ao todo 7+5=12 bolas, com 7 idênticas vermelhas e 5 idênticas verdes. O número de permutações dessas bolas é
12!7!,5! ;=;binom125;=;792

Passo 3

Para inserir as 6 bolas azuis de modo que nenhuma fique junto a outra, usamos o método das lacunas: após arrumar as 12 bolas não-azuis, temos 12+1=13 lacunas (antes da primeira, entre elas e depois da última) onde podemos colocar no máximo uma bola azul em cada lacuna. Escolhemos 6 dessas 13 lacunas para inserir exatamente uma bola azul em cada uma. O número de maneiras de escolher essas lacunas é
binom136;=;1716

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos que satisfazem a condição é o produto das permutações das não-azuis pela escolha das lacunas para as azuis:
792 times 1716 ;=;1,359,072

Resposta

O número de formas possíveis é 1,359,072.

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