Questão 23
Enunciado
De quantas formas é possível organizar em fila 7 bolas vermelhas, 6 bolas azuis e 5 bolas verdes, de forma que nenhuma das bolas azuis fique ao lado de outra bola azul?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações de
bolas vermelhas,
bolas verdes e
bolas azuis, de modo que nenhuma bola azul fique adjacente a outra bola azul. O conteúdo aqui é contagem de permutações com objetos repetidos e aplicação do método das lacunas para evitar adjacência.
Passo 2
Primeiro organizamos as bolas não-azuis (vermelhas e verdes). São ao todo
bolas, com
idênticas vermelhas e
idênticas verdes. O número de permutações dessas bolas é
Passo 3
Para inserir as
bolas azuis de modo que nenhuma fique junto a outra, usamos o método das lacunas: após arrumar as 12 bolas não-azuis, temos
lacunas (antes da primeira, entre elas e depois da última) onde podemos colocar no máximo uma bola azul em cada lacuna. Escolhemos
dessas
lacunas para inserir exatamente uma bola azul em cada uma. O número de maneiras de escolher essas lacunas é
Passo 4
Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos que satisfazem a condição é o produto das permutações das não-azuis pela escolha das lacunas para as azuis:
Resposta
O número de formas possíveis é
.