Questão 25

Enunciado

De quantos modos podemos formar uma roda com 5 meninos e 5 meninas de modo que crianças de mesmo sexo não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de sentar em torno de uma roda 5 meninos e 5 meninas de modo que não haja duas crianças do mesmo sexo lado a lado. O conteúdo é permutação circular e princípio fundamental da contagem.

Passo 2

Para que não haja duas do mesmo sexo juntas e haja o mesmo número de meninos e meninas, a única possibilidade é alternar garoto-garota em toda a roda.

Passo 3

Começamos dispondo as 5 meninas em círculo. O número de permutações circulares de n objetos é (n-1)!, logo para as meninas temos
(5-1)! = 4! = 24

Passo 4

Depois de fixar as meninas, surgem exatamente 5 vagas entre elas para colocar os 5 meninos, de forma que cada vaga receba um menino. O número de permutações lineares dos meninos nessas vagas é
5! = 120

Passo 5

Pelo princípio da multiplicação, o total de arranjos alternados é
4! times 5! = 24 times 120 = 2880

Resposta

2880 maneiras.

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