Questão 9
Enunciado
Quantos números, de 1 a 1983, podem ser escritos como soma de duas ou mais potências distintas de 3 ?
Passo 1
O enunciado pede quantos inteiros de
a
podem ser escritos como soma de duas ou mais potências distintas de
. O conteúdo principal é observar que toda soma de potências distintas de
corresponde a um número cuja representação em base
tem apenas algarismos
ou
, com pelo menos dois dígitos
.
Passo 2
Identificamos quais potências de
são úteis. Como
as potências válidas são
totalizando
valores:
.
Passo 3
Note que a soma de todas essas
potências é
que fica abaixo de
. Logo, toda soma de qualquer subconjunto dessas potências também é
e, portanto, pertence ao intervalo de
a
.
Passo 4
Cada subconjunto de tamanho
(com
) dá um número distinto. Há
subconjuntos no total, dos quais
é o vazio e
têm tamanho
. Assim, o número de subconjuntos de tamanho pelo menos
é