Questão 25 (FIJAS - UNI). Encontre o valor do determinante das seguintes matrizes:
A=\left|\begin{array}{llll}3 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor do determinante da matriz A dada por
A=\left|\begin{array}{llll} 3 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right|.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A é uma matriz quadrada 4\times4.
  • Todos os elementos da diagonal são 3.
  • Todos os elementos fora da diagonal são 1.
  • A tarefa é calcular \det(A).

Passo 2

Uma observação útil (e simples) sobre a estrutura da matriz: é uma matriz onde os elementos diagonais têm um valor e todos os fora da diagonal têm outro valor. Podemos reescrever A de forma que fique mais fácil manipular. Definir:
I=\text{matriz identidade }4\times4,\qquad J=\text{matriz }4\times4\text{ cujos elementos são todos }1.ã
Verifica-se que
A = 2I + J,
pois 2I tem 2 na diagonal e 0 fora, e J tem 1 em todo lugar; somando-se, na diagonal fica 2+1=3 e fora da diagonal fica 0+1=1.
Vou usar duas ideias úteis (explico o que são e por que valem):
  • Propriedade: o determinante de uma matriz é o produto de suas autovalores (autovalores = eigenvalues). Vou explicar o que são autovalores e como encontrá-los para J.
  • Alternativa prática: há uma fórmula geral para matrizes com a mesma estrutura (diag igual a a, fora diag igual a b), que pode ser derivada por operações elementares; eu também mostro isso como verificação.

Passo 3

O que é autovalor/autovetor, de forma bem direta:
  • Um vetor v\neq 0 é autovetor de uma matriz M se existir um número \lambda tal que M v = \lambda v. Esse \lambda é o autovalor associado.
  • Se conseguimos achar todos os autovalores de M, o determinante de M é o produto desses autovalores (contando multiplicidade).
Agora aplico isso à matriz J (a matriz de todos uns). Tome o vetor u=(1,1,1,1)^\top. Multiplicando:
J u = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\\ 1&1&1&1\\\ 1&1&1&1\\\ 1&1&1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\\ 4\\\ 4\\\ 4\end{pmatrix} = 4\,u.
Logo u é autovetor de J com autovalor 4.
Agora considere qualquer vetor w cuja soma das componentes seja zero, isto é, w=(w_1,w_2,w_3,w_4)^\top com w_1+w_2+w_3+w_4=0. Ao multiplicar Jw, cada componente do resultado é exatamente essa soma, portanto
J w = 0\cdot w.
Isto mostra que todo vetor com soma das componentes zero é autovetor com autovalor 0. Como o subespaço dos vetores de soma zero tem dimensão 3, concluímos que os autovalores de J são:
  • \lambda_1(J)=4 (multiplicidade 1),
  • \lambda_{2,3,4}(J)=0 (multiplicidade 3).

Passo 4

Agora uso a relação linear já escrita A = 2I + J. Se v é autovetor de J com autovalor \lambda, então
A v = (2I + J)v = 2v + Jv = 2v + \lambda v = (2+\lambda)v.
Portanto os autovalores de A são 2+\lambda onde \lambda são os autovalores de J. Assim:
  • Para \lambda=4 obtemos 2+4=6 (multiplicidade 1).
  • Para \lambda=0 obtemos 2+0=2 (multiplicidade 3).
Logo os autovalores de A são 6,2,2,2.

Passo 5

Como o determinante é o produto dos autovalores:
\det(A) = 6 \times 2 \times 2 \times 2 = 6 \times 2^3 = 6 \times 8 = 48.
Mostro rapidamente uma verificação alternativa (opcional) usando operações elementares para o caso concreto, só para ver a conta por outro caminho:
  • Subtraindo a primeira linha das outras três (operações do tipo R_i\leftarrow R_i-R_1, que não alteram o determinante), a matriz fica triangular por blocos e a expansão leva ao mesmo produto 6\cdot2^3. Essa verificação segue a mesma ideia estrutural de escrever A=(3-1)I+1\cdot J e utilizar a decomposição.

Resposta

48

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