Questão 2: (7 pts) Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{4}\left(x^{3} y-2 x+1\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada \displaystyle \int_{-1}^{1}\int_{0}^{4}\bigl(x^{3}y - 2x + 1\bigr)\,dx\,dy.
Usaremos o Teorema de Fubini para integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Cálculo da integral interna em x:
\int_{0}^{4}\bigl(x^{3}y - 2x + 1\bigr)\,dx = y\int_{0}^{4}x^{3}\,dx \;-\; 2\int_{0}^{4}x\,dx \;+\; \int_{0}^{4}1\,dx.
Cada termo avaliado:
\int_{0}^{4}x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{4} = 64, \quad \int_{0}^{4}x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = 8, \quad \int_{0}^{4}1\,dx = [x]_{0}^{4} = 4.
Logo,
\int_{0}^{4}\bigl(x^{3}y - 2x + 1\bigr)\,dx = y\cdot 64 \;-\; 2\cdot 8 \;+\; 4 = 64y \;-\;16 \;+\;4 = 64y \;-\;12.

Passo 3

Substituímos na integral externa em y:
\int_{-1}^{1}(64y - 12)\,dy.

Passo 4

Cálculo da integral em y:
\int_{-1}^{1}64y\,dy = 64\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = 32\bigl(1 - 1\bigr) = 0,
\int_{-1}^{1}-12\,dy = -12\,[y]_{-1}^{1} = -12\cdot(1 - (-1)) = -24.
Somando os resultados,
\int_{-1}^{1}(64y - 12)\,dy = 0 - 24 = -24.

Resposta

-24

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