Questão 26

Um fio metálico, com seção transversal quadrada de lado a=2 \mathrm{~mm} e comprimento \ell= 2 m , está na posição vertical, preso ao teto de uma sala. Coloca-se, na extremidade inferior do fio, um peso exercendo uma tensão de 400 N , e observa-se uma variação de 2 mm no comprimento do fio.
(a) Obtenha o módulo de Young do material que constitui o fio.
(b) Caso o lado da seção transversal do fio seja multiplicado por um fator 2, e seu comprimento, por um fator 0.5 , de quanto será multiplicada a variação de comprimento \Delta \mathrm{L} do fio?

Passo 1

O enunciado dá um fio metálico de comprimento \ell=2 m e seção transversal quadrada de lado a=2 mm preso verticalmente, submetido a uma força F=400 N, que provoca um alongamento \Delta L=2 mm. Na parte (a) precisamos encontrar o módulo de Young E do material, usando a relação entre tensão e deformação. Na parte (b) veremos como muda \Delta L se multiplicarmos a por 2 e \ell por 0,5, mantendo F e E constantes.

Passo 2

A área da seção é
A = a^2 = (2\,\text{mm})^2 = 4\,\text{mm}^2 = 4\times10^{-6}\,\text{m}^2.
A tensão (stress) é
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{400}{4\times10^{-6}} = 1{,}0\times10^{8}\,\mathrm{Pa}.

Passo 3

A deformação (strain) é
\varepsilon = \frac{\Delta L}{\ell} = \frac{2\,\text{mm}}{2\,\text{m}} = \frac{0{,}002}{2} = 0{,}001.

Passo 4

Pelo módulo de Young definimos
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{1{,}0\times10^{8}}{0{,}001} = 1{,}0\times10^{11}\,\mathrm{Pa}.

Passo 5

Para a parte (b), como
\Delta L \;=\;\frac{F\,\ell}{A\,E},
vemos que \Delta L é proporcional a \ell/A. Logo
\frac{\Delta L'}{\Delta L} =\frac{(\ell'/A')}{(\ell/A)}.

Passo 6

Se \ell' = 0{,}5\,\ell e A' = (2a)^2 = 4\,A, então
\frac{\Delta L'}{\Delta L} =\frac{0{,}5\,\ell / (4\,A)}{\ell / A} =\frac{0{,}5}{4} =0{,}125 =\frac{1}{8}.

Resposta

E = 1{,}0\times10^{11}\,\mathrm{Pa}.
A variação de comprimento será multiplicada por 1/8.

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