Questão 24. (Função quadrática)
Para cada uma das funções abaixo, determine: (i) A interseção com o eixo-x; (ii) a interseção com o eixo-y; (iii) as coordenadas do vértice; (iv) o domínio e a imagem e (v) o esboço do gráfico.
f(x)=x^2-4 x+9

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x)=x^2-4x+9
e pede: (i) interseção com o eixo- x; (ii) interseção com o eixo- y; (iii) coordenadas do vértice; (iv) domínio e imagem; (v) esboço do gráfico. Vamos aplicar propriedades de funções quadráticas (discriminante, fórmula do vértice, sinal do coeficiente de x^2).

Passo 2

Para a interseção com o eixo- x resolvemos f(x)=0, ou seja
x^2-4x+9=0
O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot9 =16 -36 = -20<0
Como De<a<0, não há raízes reais e, portanto, não há interseção com o eixo- x.
Para a interseção com o eixo- y basta usar x=0:
f(0)=0^2-4cdot0+9=9,
logo o ponto é (0,9).

Passo 3

O vértice de uma parábola ax^2+bx+c está em
xv = -b2a = --42cdot1=2
O valor de y no vértice é
yv = f(2)=2^2-4cdot2+9=4-8+9=5
Logo o vértice é (2,5).

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 é a=1>0, a parábola abre para cima.
O domínio de toda função polinomial é
Dom(f)=R
O valor mínimo ocorre no vértice, ou seja
min f = yv = 5,
portanto a imagem é
Im(f)=[5,infty)

Passo 5

Esboço do gráfico: é uma parábola voltada para cima com vértice em (2,5), sem cruzar o eixo- x e cruzando o eixo- y em (0,9).

Resposta

(i) não há interseção com o eixo- x (raízes complexas);
(ii) interseção com o eixo- y: (0,9);
(iii) vértice em (2,5);
(iv) domínio R, imagem [5,infty);
(v) parábola com vértice em (2,5), sem raízes reais e cruzando o eixo- y em (0,9).

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