Questão 24 Mostre que \operatorname{mdc}(a, b, c)=\operatorname{mdc}((a, b), c).

Passo 1

O enunciado diz: dado a,b,c\in\mathbb{Z}, mostrar que
\operatorname{mdc}(a,b,c)=\operatorname{mdc}\bigl(\operatorname{mdc}(a,b),\,c\bigr).
Aqui o que precisamos é usar a definição de máximo divisor comum (mdc) e propriedades de divisibilidade para comparar esses dois valores.

Passo 2

Defina
d = \operatorname{mdc}(a,b,c).
Pela definição, d divide simultaneamente a, b e c. Como d divide a e b, segue que d divide \operatorname{mdc}(a,b). Além disso d também divide c. Logo d é divisor comum de \operatorname{mdc}(a,b) e c, o que implica
d \;\le\; \operatorname{mdc}\bigl(\operatorname{mdc}(a,b),\,c\bigr).

Passo 3

Agora defina
e = \operatorname{mdc}\bigl(\operatorname{mdc}(a,b),\,c\bigr).
Pela definição, e divide \operatorname{mdc}(a,b) e também divide c. Como qualquer divisor de \operatorname{mdc}(a,b) divide a e b, temos que e divide a, b e c. Portanto e é divisor comum de a,b,c, e daí
e \;\le\; \operatorname{mdc}(a,b,c).

Passo 4

Das desigualdades
d \le e \quad\text{e}\quad e \le d
resulta d = e. Substituindo os valores de d e e, conclui-se
\operatorname{mdc}(a,b,c) = \operatorname{mdc}\bigl(\operatorname{mdc}(a,b),\,c\bigr).

Resposta

\operatorname{mdc}(a,b,c)=\operatorname{mdc}\bigl(\operatorname{mdc}(a,b),\,c\bigr)

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