Questão 1: (24 Pts) Assinale V para verdadeiro ou F para falso. Todas as alternativas deverão ser devidamente justificadas.
a) ( ) A sequência an=cos (n pi)+2^n converge.
b) ( ) A sequência an=ln (n-1n+1)^n converge.
c) ( ) Sejam an e bn duas sequências de termos positivos, tais que lim an=0 e M1 <= bn <= M2, então lim an cdot bn=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa, justificando. O conteúdo envolvido é convergência de sequências reais, uso de limite de soma, de produto e expansão de logaritmo para grande n.

Passo 2

Analisemos a alternativa (a):
an=cos(npi)+2^n.
Sabemos que cos(npi)=(-1)^n, que oscila entre -1 e 1, mas 2^nto+infty quando ntoinfty. Logo
an = (-1)^n + 2^n xrightarrow[ntoinfty] +infty,
ou seja, não converge a um número finito.

Passo 3

Analisemos a alternativa (b):
an = lnl(l(tfracn-1n+1r)^nr) = n,ln!l(tfracn-1n+1r)
Escrevendo
ln!l(tfracn-1n+1r) =lnl(1 - tfrac2n+1r),
e usando a expansão ln(1+x)approx x para xto0, temos
lnl(1 - tfrac2n+1r)sim -tfrac2n+1,
logo
an = ncdotl(-tfrac2n+1+o(tfrac1n)r) ;xrightarrow[ntoinfty];-2
Portanto an converge a -2.

Passo 4

Analisemos a alternativa (c):
Sejam an e bn com anto0 e M1<= bn<= M2 para toda n. Então
M1,an <= an bn <= M2,an
Como anto0, segue por confronto (teorema do sanduíche) que
an bn ;xrightarrow[ntoinfty],0

Resposta

a) F
b) V
c) V

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