Resolva as integrais:
integral 2 x-2x^2+2 x+3 d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
integral 2x - 2x^2 + 2x + 3,dx
Isso é um problema de integração de função racional, e vamos usar a técnica de decompor o numerador em uma parte proporcional à derivada do denominador e uma parte constante restante.

Passo 2

Observe que a derivada do denominador x^2+2x+3 é
ddxl(x^2+2x+3r)=2x+2
Então escrevemos o numerador 2x-2 como
2x-2 = (2x+2) - 4
Isso permite separar a integral em duas partes:
integral 2x-2x^2+2x+3,dx = integral 2x+2x^2+2x+3,dx ;-;4integral 1x^2+2x+3,dx

Passo 3

A primeira integral é imediata, pois é da forma integral f'(x)f(x)dx=ln|f(x)|. Aqui f(x)=x^2+2x+3, então
integral 2x+2x^2+2x+3,dx = lnl(x^2+2x+3r)

Passo 4

Para a segunda integral, completamos o quadrado no denominador:
x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2
Logo
integral 1x^2+2x+3,dx = integral 1(x+1)^2 + (raiz2)^2,dx = 1raiz2arctan!gl(x+1raiz2gr)
Multiplicando pelo -4 que estava fora, obtemos
-4 integral 1x^2+2x+3,dx = -4raiz2arctan!gl(x+1raiz2gr) = -2raiz2,arctan!gl(x+1raiz2gr)

Passo 5

Somando as duas partes achadas, a integral original é
integral 2x-2x^2+2x+3,dx = lnl(x^2+2x+3r); -;2raiz2,arctan!l(x+1raiz2r) ;+;C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral 2x-2x^2+2x+3,dx = lnl(x^2+2x+3r) -2raiz2,arctan!l(x+1raiz2r) + C

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