Questão 26 (Med. Jundiaí - SP)
Seja o número complexo z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}. O argumento principal do conjugado de z é:
a) 30^{\circ}
b) 45^{\circ}
c) 60^{\circ}
d) 120^{\circ}
e) 150^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \displaystyle z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i} e pergunta: qual é o argumento principal do conjugado de z?\n\nInformações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n- O número complexo é \displaystyle z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}.\n- Precisamos usar o conjugado de z (ou seja, trocar o sinal da parte imaginária) e então encontrar o argumento principal desse conjugado.\n- As alternativas estão em graus: 30^\circ,45^\circ,60^\circ,120^\circ,150^\circ.

Passo 2

Calculemos o conjugado de z. O conjugado de um número complexo troca o sinal da parte imaginária: se z=a+b\mathrm{i}, então \overline{z}=a-b\mathrm{i}. Aplicando ao nosso z temos
\overline{z}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}.

Passo 3

Interprete geometricamente \overline{z}: a parte real é \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} (negativa) e a parte imaginária é \displaystyle +\frac{1}{2} (positiva). Então o ponto correspondente está no segundo quadrante do plano complexo (à esquerda do eixo real e acima do eixo imaginário). Isso é importante porque o valor da função arco-tangente precisa ser ajustado conforme o quadrante.

Passo 4

Vamos encontrar a “referência” do ângulo, isto é, o ângulo agudo formado entre a linha que liga a origem ao ponto e o eixo real. A tangente desse ângulo de referência é o valor absoluto da razão entre a parte imaginária e a parte real:
\tan(\alpha)=\left|\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\right|=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Sabemos que \tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}. Portanto a referência é \alpha=30^\circ.

Passo 5

Como o ponto está no segundo quadrante, o argumento (medido a partir do eixo real positivo, no sentido anti-horário) é
\theta=180^\circ-\alpha=180^\circ-30^\circ=150^\circ.
Também vale observar que esse valor está dentro do intervalo do argumento principal usual em graus, que é (-180^\circ,180^\circ], então \theta=150^\circ é uma escolha válida. Conclusão prática: o conjugado virou a parte imaginária positiva (reflexão em relação ao eixo real), usamos a razão das partes para achar o ângulo de referência por arco-tangente e ajustamos para o segundo quadrante subtraindo da reta de 180^\circ.

Resposta

150^\circ

Exercícios relacionados