Questão 26 (Med. Jundiaí - SP)
Seja o número complexo z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}. O argumento principal do conjugado de z é:
a) 30^{\circ}
b) 45^{\circ}
c) 60^{\circ}
d) 120^{\circ}
e) 150^{\circ}
Passo 1
O enunciado dá o número complexo \displaystyle z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i} e pergunta: qual é o argumento principal do conjugado de z?\n\nInformações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n- O número complexo é \displaystyle z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}.\n- Precisamos usar o conjugado de z (ou seja, trocar o sinal da parte imaginária) e então encontrar o argumento principal desse conjugado.\n- As alternativas estão em graus: 30^\circ,45^\circ,60^\circ,120^\circ,150^\circ.
Passo 2
Calculemos o conjugado de z. O conjugado de um número complexo troca o sinal da parte imaginária: se z=a+b\mathrm{i}, então \overline{z}=a-b\mathrm{i}. Aplicando ao nosso z temos
Interprete geometricamente \overline{z}: a parte real é \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} (negativa) e a parte imaginária é \displaystyle +\frac{1}{2} (positiva). Então o ponto correspondente está no segundo quadrante do plano complexo (à esquerda do eixo real e acima do eixo imaginário). Isso é importante porque o valor da função arco-tangente precisa ser ajustado conforme o quadrante.
Passo 4
Vamos encontrar a “referência” do ângulo, isto é, o ângulo agudo formado entre a linha que liga a origem ao ponto e o eixo real. A tangente desse ângulo de referência é o valor absoluto da razão entre a parte imaginária e a parte real:
Também vale observar que esse valor está dentro do intervalo do argumento principal usual em graus, que é (-180^\circ,180^\circ], então \theta=150^\circ é uma escolha válida. Conclusão prática: o conjugado virou a parte imaginária positiva (reflexão em relação ao eixo real), usamos a razão das partes para achar o ângulo de referência por arco-tangente e ajustamos para o segundo quadrante subtraindo da reta de 180^\circ.