Questão 26 (SEAD/2005)
Uma doença afeta
de uma população. Um teste para detectar a presença da doença acerta em
dos casos, ou seja, aplicado a uma pessoa sadia dá resultado negativo com probabilidade 0,9 e, aplicado a um portador da doença, dá resultado positivo com probabilidade 0,9. Se o exame de um paciente dá positivo, qual é a probabilidade dele estar realmente doente?
(A) 0,1
(B) 0,3
(C) 0,5
(D) 0,7
(E) 0,9
(A) 0,1
(B) 0,3
(C) 0,5
(D) 0,7
(E) 0,9
Passo 1
Resumo da questão: uma doença afeta 10 % da população. O teste acerta 90 % dos doentes (P(+|D)=0,9) e 90 % dos sadios (P(–|¬D)=0,9). Se deu positivo, qual a chance de a pessoa estar doente?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que precisamos:
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que precisamos:
- P(D)=0,1 (prob. priori de estar doente)
- P(¬D)=0,9 (prob. de não estar doente)
- P(+|D)=0,9 (sensibilidade)
- P(+|¬D)=1–P(–|¬D)=1–0,9=0,1 (taxa de falso positivo)
Passo 2
Definindo eventos:
D = “pessoa está doente”
¬D = “pessoa está sã”
D = “pessoa está doente”
¬D = “pessoa está sã”
- = “teste deu positivo”
O Teorema de Bayes diz que
Mas a gente não conhece P(+) direto; usa a probabilidade total:
Passo 3
Aplicando a fórmula completa de Bayes:
Substituindo os valores que já listamos:
- P(+|D)=0,9
- P(D)=0,1
- P(+|¬D)=0,1
- P(¬D)=0,9
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- Numerador:
.P(+|D),P(D)=0,9times 0,1=0,09 - Denominador:
.0,9times0,1 + 0,1times0,9 = 0,09 + 0,09 = 0,18 - Divisão:
Resposta
A probabilidade de estar realmente doente, dado que o teste deu positivo, é 0,5 (50 %), alternativa C.