Questão 26 (SEAD/2005)

Uma doença afeta 10 % de uma população. Um teste para detectar a presença da doença acerta em 90 % dos casos, ou seja, aplicado a uma pessoa sadia dá resultado negativo com probabilidade 0,9 e, aplicado a um portador da doença, dá resultado positivo com probabilidade 0,9. Se o exame de um paciente dá positivo, qual é a probabilidade dele estar realmente doente?
(A) 0,1
(B) 0,3
(C) 0,5
(D) 0,7
(E) 0,9

Passo 1

Resumo da questão: uma doença afeta 10 % da população. O teste acerta 90 % dos doentes (P(+|D)=0,9) e 90 % dos sadios (P(–|¬D)=0,9). Se deu positivo, qual a chance de a pessoa estar doente?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que precisamos:
  • P(D)=0,1 (prob. priori de estar doente)
  • P(¬D)=0,9 (prob. de não estar doente)
  • P(+|D)=0,9 (sensibilidade)
  • P(+|¬D)=1–P(–|¬D)=1–0,9=0,1 (taxa de falso positivo)

Passo 2

Definindo eventos:
D = “pessoa está doente”
¬D = “pessoa está sã”
  • = “teste deu positivo”
O Teorema de Bayes diz que
P(Dmid +) = P(+mid D),P(D)P(+)
Mas a gente não conhece P(+) direto; usa a probabilidade total:
P(+)=P(+mid D)P(D)+P(+mid D)P(D)

Passo 3

Aplicando a fórmula completa de Bayes:
P(Dmid +) = P(+mid D),P(D)P(+mid D)P(D)+P(+mid D)P(D)
Substituindo os valores que já listamos:
  • P(+|D)=0,9
  • P(D)=0,1
  • P(+|¬D)=0,1
  • P(¬D)=0,9

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Numerador: P(+|D),P(D)=0,9times 0,1=0,09.
  2. Denominador:
    0,9times0,1 + 0,1times0,9 = 0,09 + 0,09 = 0,18.
  3. Divisão:
P(Dmid +) = 0,090,18 = 0,5

Resposta

A probabilidade de estar realmente doente, dado que o teste deu positivo, é 0,5 (50 %), alternativa C.

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