Questão 4: Marque verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
(a) ( ) Podemos afirmar com segurança que a função y=x \operatorname{sen}(x)+x^{3}-\operatorname{tg}(x)+e^{x} não possui nenhuma raiz no intervalo [0, \pi / 4].
(b) ( ) A função f(x)=\frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x} possui uma assíntota vertical de equação x=0.

Passo 1

O enunciado pede para julgar as afirmações abaixo, justificando:
(a) A função
g(x)=x\sin(x)+x^{3}-\tan(x)+e^{x}
não tem nenhuma raiz em [0,\pi/4].
(b) A função
f(x)=\frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x}
possui assíntota vertical em x=0.
Para (a) vamos usar desigualdades de séries de Taylor truncadas, e para (b) limites laterais.

Passo 2

Análise de (a): para x\in[0,\pi/4] conhecemos as seguintes estimativas válidas em série alternada ou séries convergentes:
\tan(x)\ge x+\tfrac{x^{3}}{3}
\mathrm{e}^{x}\ge1+x+\tfrac{x^{2}}{2}
e claro x\sin x\ge0, x^{3}\ge0.
Logo
g(x)=x\sin x +x^{3}-\tan x + e^{x} \ge0+0-\Bigl(x+\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr)+\Bigl(1+x+\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr) =1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}.
Como em [0,\pi/4]\subset[0,1] vale x^{3}\le x^{2}, temos
\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\ge\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{3} =\frac{x^{2}}{6}\ge0.
Portanto g(x)\ge1>0 em todo [0,\pi/4], o que impede raiz.
Concluímos que a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Análise de (b): considere
f(x)=\frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x}.
Calculamos os limites laterais em x=0:
\lim_{x\to0^{+}}f(x) =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sqrt{3+x^{2}}}{x} =\frac{\sqrt{3}}{0^{+}}=+\infty,
\lim_{x\to0^{-}}f(x) =\frac{\sqrt{3}}{0^{-}}=-\infty.
Como em x=0 pelo menos um dos limites diverge em módulo, a reta x=0 é assíntota vertical.
Concluímos que a afirmação (b) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro

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