Questão 24. Sejam u e v vetores quaisquer. Usando a famosa Desigualdade de Cauchy-Schwarz
|lang<=u, vrang<=| <=|u| cdot|v|
prove a Desigualdade triangular
|u+v| <=|u|+|v|

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade triangular
|u+v| <= |u| + |v|
sabendo que vale a Desigualdade de Cauchy–Schwarz
|lang<= u,vrang<=| <= |u|;|v|
O conteúdo envolvido é produto interno e norma induzida por ele.

Passo 2

Vamos começar expandindo o quadrado da norma de u+v. Usando bilinearidade e simetria do produto interno, temos
|u+v|^2 = lang<= u+v,,u+vrang<= = lang<= u,urang<= + 2,lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<= = |u|^2 + 2,lang<= u,vrang<= + |v|^2

Passo 3

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz sabemos que
lang<= u,vrang<= <= |lang<= u,vrang<=| <= |u|;|v|
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2,lang<= u,vrang<= <= 2,|u|;|v|
Substituindo em |u+v|^2, obtemos
|u+v|^2 <= |u|^2 + 2,|u|;|v| + |v|^2

Passo 4

Repare que o lado direito é um quadrado perfeito:
|u|^2 + 2,|u|;|v| + |v|^2 = l(|u| + |v|r)^2
Portanto
|u+v|^2 <= l(|u| + |v|r)^2

Passo 5

Como normas são não negativas, podemos tirar raiz quadrada sem inverter a desigualdade, obtendo
|u+v| <= |u| + |v|

Resposta

|u+v| <= |u| + |v|

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