Questão 24. Sejam
e
vetores quaisquer. Usando a famosa Desigualdade de Cauchy-Schwarz
prove a Desigualdade triangular
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade triangular
sabendo que vale a Desigualdade de Cauchy–Schwarz
O conteúdo envolvido é produto interno e norma induzida por ele.
Passo 2
Vamos começar expandindo o quadrado da norma de
. Usando bilinearidade e simetria do produto interno, temos
Passo 3
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz sabemos que
Logo
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Repare que o lado direito é um quadrado perfeito:
Portanto
Passo 5
Como normas são não negativas, podemos tirar raiz quadrada sem inverter a desigualdade, obtendo