QUESTÃO 24
O valor de \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{1-x} é igual a:
(A) -1 / 3.
(B) -1 / 2.
(C) 1 / 2.
(D) 1 / 3.
(E) Outro resultado.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{1-x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O numerador é \sqrt[3]{x}-1 (que tende a 0 quando x\to1).
  • O denominador é 1-x (que também tende a 0 quando x\to1).
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0, e precisamos manipular para encontrar o limite.

Passo 2

Vamos usar uma identidade algébrica simples envolvendo raízes cúbicas. Defina
u=\sqrt[3]{x},
então u^3=x. A identidade para diferença de cubos é
u^3-1=(u-1)\bigl(u^2+u+1\bigr).
Substituindo u^3=x obtemos
x-1=(u-1)\bigl(u^2+u+1\bigr).

Passo 3

A partir da igualdade do Passo 2 podemos isolar \dfrac{u-1}{x-1}:
\frac{u-1}{x-1}=\frac{1}{u^2+u+1}.
A nossa expressão é \dfrac{u-1}{1-x}. Note que
\frac{u-1}{1-x}=-\frac{u-1}{x-1}.
Substituindo a relação anterior:
\frac{u-1}{1-x}=-\frac{1}{u^2+u+1}.

Passo 4

Agora tomamos o limite x\to1. Quando x\to1 temos u=\sqrt[3]{x}\to\sqrt[3]{1}=1. Como u^2+u+1 é um polinômio contínuo em u, podemos simplesmente substituir u=1 no lado direito:
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{1-x} =\lim_{u\to1}\left(-\frac{1}{u^2+u+1}\right) =-\frac{1}{1^2+1+1} =-\frac{1}{3}.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil para a prova): note que para f(x)=x^{1/3} a definição de derivada diz
f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}.
Nossa expressão é o negativo disso:
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{1-x}=-\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}=-f'(1).
Aplicando a regra do poder f'(x)=\tfrac{1}{3}x^{-2/3} (para x>0), obtemos f'(1)=\tfrac{1}{3} e, portanto, o limite é -\tfrac{1}{3}. Ambos os métodos coincidem.

Resposta

(A) -\tfrac{1}{3}

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