QUESTÃO 24
O valor de
é igual a:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Outro resultado.
O valor de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Outro resultado.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O numerador é
(que tende a quando ). - O denominador é
(que também tende a quando ). - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, e precisamos manipular para encontrar o limite.
Passo 2
Vamos usar uma identidade algébrica simples envolvendo raízes cúbicas. Defina
então
. A identidade para diferença de cubos é
Substituindo
obtemos
Passo 3
A partir da igualdade do Passo 2 podemos isolar
:
A nossa expressão é
. Note que
Substituindo a relação anterior:
Passo 4
Agora tomamos o limite
. Quando
temos
. Como
é um polinômio contínuo em
, podemos simplesmente substituir
no lado direito:
Passo 5
Como verificação alternativa (útil para a prova): note que para
a definição de derivada diz
Nossa expressão é o negativo disso:
Aplicando a regra do poder
(para
), obtemos
e, portanto, o limite é
. Ambos os métodos coincidem.
Resposta
(A)