Questão 1 Se X é um conjunto finito e a \in X, usando a definição de conjunto finito, mostre que X-\{a\} é também finito.

Passo 1

O enunciado dá:
  • X é um conjunto finito.
  • a\in X.
O que se pede:
  • Mostrar que X\setminus\{a\} também é finito.
Informações relevantes que vou usar (não estou resolvendo ainda, apenas listando):
  • A definição de conjunto finito que vou usar: existe n\in\mathbb{N} e uma bijeção f : X \to \{1,\dots,n\}.
  • Vou precisar das definições de função injetiva, sobrejetiva e bijetiva.

Passo 2

Vamos revisar com calma os conceitos que vamos usar (aquelas “aulas rápidas” para você não se perder).
Definição de bijeção:
  • Uma função f : A \to B é injetiva se, para quaisquer x,y\in A, f(x)=f(y) implica x=y.
  • Uma função f : A \to B é sobrejetiva se, para todo b\in B, existe a\in A tal que f(a)=b.
  • Uma função é bijetiva se é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Uma bijeção estabelece uma “correspondência um a um” entre os elementos de A e os de B.
O que significa dizer " X é finito" (usada aqui):
  • Significa que existe um número natural n tal que há uma bijeção
f : X \to \{1,\dots,n\}.
Esse n é o número de elementos de X (a cardinalidade |X|=n).
Exemplo concreto (para intuir): se X=\{u,v,w\} então existe bijeção com \{1,2,3\}, por exemplo f(u)=1,f(v)=2,f(w)=3.

Passo 3

Começo a construção formal: como X é finito, escolha n\in\mathbb{N} e uma bijeção
f : X \to \{1,\dots,n\}.
Como a\in X, o valor k:=f(a) está bem definido e pertence a \{1,\dots,n\}.
Observação: isso mostra que X não é vazio (pois contém a), logo n\ge 1.
A ideia será construir explicitamente uma bijeção
g : X\setminus\{a\} \to \{1,\dots,n-1\},
o que provará que X\setminus\{a\} é finito (com exatamente n-1 elementos).

Passo 4

Definição da função g\). Para cada \(x\in X\setminus\{a\}\) temos \(f(x)\neq k\). Defina \[g(x) := \begin{cases} f(x), & \text{se } f(x)<k,\\[4pt] f(x)-1, & \text{se } f(x)>k. \end{cases}
Explicando em palavras: pego a numeração dada por f\] em \(1,\dots,n e “retiro” o número k (o rótulo de a), recompactando os rótulos maiores que k diminuindo-os em 1. Assim os rótulos possíveis para g ficam exatamente em \{1,\dots,n-1\}.
Preciso agora mostrar que g é bem definida, injetiva e sobrejetiva.]

Passo 5

Verificação de que g é bem definida:
  • Para x\in X\setminus\{a\} tem-se f(x)\in\{1,\dots,n\} e f(x)\neq k, logo ou f(x)<k ou f(x)>k. Em ambos os casos a fórmula de g(x) descreve um número em \{1,\dots,n-1\}. Assim g(x) está sempre em \{1,\dots,n-1\}. Logo g é bem definida como função X\setminus\{a\}\to\{1,\dots,n-1\}.

Passo 6

Verificação de injetividade de g:
Sejam x,y\in X\setminus\{a\} tais que g(x)=g(y). Vamos analisar os casos possíveis de acordo com os valores f(x) e f(y).
  1. Se f(x)<k e f(y)<k, então g(x)=f(x) e g(y)=f(y). Assim f(x)=f(y). Como f é injetiva, segue x=y.
  2. Se f(x)>k e f(y)>k, então g(x)=f(x)-1 e g(y)=f(y)-1. Assim f(x)-1=f(y)-1, logo f(x)=f(y). Como f é injetiva, segue x=y.
  3. Se f(x)<k e f(y)>k (ou vice-versa), então g(x)=f(x)\le k-1 enquanto g(y)=f(y)-1\ge k (porque f(y)\ge k+1 f(y)-1\ge k). Assim g(x)\le k-1<k\le g(y), o que impede g(x)=g(y). Logo esse caso não ocorre.
Portanto, sempre que g(x)=g(y) concluímos x=y. Logo g é injetiva.

Passo 7

Verificação de sobrejetividade de g:
Pegue um j\in\{1,\dots,n-1\}. Queremos encontrar x\in X\setminus\{a\} com g(x)=j.
  • Se j<k: como f é sobrejetiva, existe x\in X tal que f(x)=j. Como j\neq k, esse x não é a, logo x\in X\setminus\{a\}. Para esse x temos f(x)=j<k então g(x)=f(x)=j.
  • Se j\ge k (isto é, j\in\{k,\dots,n-1\}): considere j+1\in\{k+1,\dots,n\}. Como f é sobrejetiva, existe x\in X com f(x)=j+1. Note que f(a)=k\neq j+1, então esse x também não é a, logo x\in X\setminus\{a\}. Para esse x temos f(x)>k e então g(x)=f(x)-1=(j+1)-1=j.
Em ambos os subcasos encontramos x\in X\setminus\{a\} com g(x)=j. Portanto g é sobrejetiva.

Passo 8

Conclusão: g é injetiva e sobrejetiva, logo é bijeção entre X\setminus\{a\} e \{1,\dots,n-1\}. Pela definição de conjunto finito usada, isso mostra que X\setminus\{a\} é finito.
Além disso, se |X|=n então |X\setminus\{a\}|=n-1.

Resposta

X\setminus\{a\} é finito; se |X|=n então |X\setminus\{a\}|=n-1.

Exercícios relacionados