Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função \\ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\\ f(x)=x^{3}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • A função é injetiva (um-para-um)?
  • A função é sobrejetiva (sobre)?
Informações relevantes dadas: domínio e contradomínio são ambos \mathbb{R} e a regra da função é \\ f(x)=x^{3}.

Passo 2

Definição de injetiva (explicação didática):
Uma função \\ f é injetiva se valores diferentes na entrada dão valores diferentes na saída. Formalmente, \\ f é injetiva se sempre que \\ f(a)=f(b) então obrigatoriamente \\ a=b. Em linguagem de prova, para mostrar injetividade é comum assumir \\ f(a)=f(b) e deduzir \\ a=b.
Exemplo rápido para intuir: a função \\ g(x)=2x é injetiva porque \\\ 2a=2b implica \\ a=b.

Passo 3

Prova de injetividade de \\ f(x)=x^{3} (passo a passo):
Assuma \\ f(a)=f(b) com \\ a,b\in\mathbb{R}. Isso significa
a^{3}=b^{3}.
Subtraindo, obtemos
a^{3}-b^{3}=0.
Usamos a fatoração de diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=0.
Logo, ou \\ a-b=0 (isto é, \\ a=b) ou \\ a^{2}+ab+b^{2}=0.
Agora mostramos que \\ a^{2}+ab+b^{2}=0 é impossível quando \\ a\neq b. Observe que podemos reescrever
a^{2}+ab+b^{2}=\left(a-\frac{b}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}.
Essa soma de dois quadrados é sempre não negativa e só pode ser zero se ambos os termos forem zero simultaneamente. Para \left(a-\frac{b}{2}\right)^{2}=0 precisamos de \\ a=\frac{b}{2}. Substitindo em \frac{3}{4}b^{2}=0 \\ b=0, e então \\ a=0. Nessa situação temos \\ a=b=0, ou seja, mesmo aí \\ a=b. Portanto não existe caso com \\ a\neq b que faça \\ a^{2}+ab+b^{2}=0.
Assim a única possibilidade decorrente de (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=0 é \\ a=b. Concluímos que \\ f é injetiva.
(Comentário alternativo curto: para \\ a<b temos \\ f(b)-f(a)=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2})>0, porque o segundo fator é positivo; logo \\ f é estritamente crescente, o que também garante injetividade.)

Passo 4

Definição de sobrejetiva (explicação didática):
Uma função \\ f: A\to B é sobrejetiva se para todo elemento y\in B existe pelo menos um x\in A tal que \\ f(x)=y. Em outras palavras, a imagem de \\ f é todo o contradomínio.
Exemplo rápido: \\ h(x)=x^{2} vista como função \mathbb{R}\to\mathbb{R} NÃO é sobrejetiva, porque não existe x\in\mathbb{R} com x^{2}=-1.

Passo 5

Prova de sobrejetividade de \\ f(x)=x^{3} (passo a passo):
Queremos mostrar: dado qualquer y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que x^{3}=y.
Considere a função auxiliar \\ g(x)=x^{3}-y. Note que \lim_{x\to\infty}g(x)=\infty e \lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty. A função \\ g é contínua (é um polinômio). Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g toma sinais opostos para extremos da reta real, existe x\in\mathbb{R} tal que g(x)=0, ou seja, tal que
x^{3}-y=0\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=y.
Portanto para todo y\in\mathbb{R} existe pelo menos um x\in\mathbb{R} com \\ f(x)=y. Logo \\ f é sobrejetiva.
Outra forma mais direta e intuitiva: para cada y existe a raiz cúbica real \\ x=\sqrt[3]{y} (a raiz cúbica de um número real existe e é real porque o polinômio t^{3}-y tem grau ímpar). Verificando, \\ (\sqrt[3]{y})^{3}=y.

Passo 6

União das conclusões e observações finais (didáticas):
  • Mostramos que \\ f é injetiva porque \\ f(a)=f(b) implica \\ a=b pelo argumento com a fatoração da diferença de cubos.
  • Mostramos que \\ f é sobrejetiva porque todo y\in\mathbb{R} tem pré-imagem real (ex.: x=\sqrt[3]{y}), ou pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário à função x^{3}-y.
Portanto \\ f é bijetiva (injetiva e sobrejetiva). O inverso explícito é \\ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}, e verifica-se facilmente que \\ f^{-1}(f(x))=x e \\ f(f^{-1}(y))=y.

Resposta

Injetiva: sim.
Sobrejetiva: sim.

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