Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado dá a função
.
As perguntas que precisamos responder são:
As perguntas que precisamos responder são:
- A função é injetiva (um-para-um)?
- A função é sobrejetiva (sobre)?
Informações relevantes dadas: domínio e contradomínio são ambos
e a regra da função é
.
Passo 2
Definição de injetiva (explicação didática):
Uma função é injetiva se valores diferentes na entrada dão valores diferentes na saída. Formalmente,
é injetiva se sempre que
então obrigatoriamente
. Em linguagem de prova, para mostrar injetividade é comum assumir
e deduzir
.
Uma função
Exemplo rápido para intuir: a função
é injetiva porque
implica
.
Passo 3
Prova de injetividade de
(passo a passo):
Assuma com
. Isso significa
Assuma
Subtraindo, obtemos
Usamos a fatoração de diferença de cubos:
Logo, ou
(isto é,
) ou
.
Agora mostramos que
é impossível quando
. Observe que podemos reescrever
Essa soma de dois quadrados é sempre não negativa e só pode ser zero se ambos os termos forem zero simultaneamente. Para
precisamos de
. Substitindo em
dá
, e então
. Nessa situação temos
, ou seja, mesmo aí
. Portanto não existe caso com
que faça
.
Assim a única possibilidade decorrente de
é
. Concluímos que
é injetiva.
(Comentário alternativo curto: para
temos
, porque o segundo fator é positivo; logo
é estritamente crescente, o que também garante injetividade.)
Passo 4
Definição de sobrejetiva (explicação didática):
Uma função é sobrejetiva se para todo elemento
existe pelo menos um
tal que
. Em outras palavras, a imagem de
é todo o contradomínio.
Uma função
Exemplo rápido:
vista como função
NÃO é sobrejetiva, porque não existe
com
.
Passo 5
Prova de sobrejetividade de
(passo a passo):
Queremos mostrar: dado qualquer , existe
tal que
.
Queremos mostrar: dado qualquer
Considere a função auxiliar
. Note que
e
. A função
é contínua (é um polinômio). Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
toma sinais opostos para extremos da reta real, existe
tal que
, ou seja, tal que
Portanto para todo
existe pelo menos um
com
. Logo
é sobrejetiva.
Outra forma mais direta e intuitiva: para cada
existe a raiz cúbica real
(a raiz cúbica de um número real existe e é real porque o polinômio
tem grau ímpar). Verificando,
.
Passo 6
União das conclusões e observações finais (didáticas):
- Mostramos que
é injetiva porque implica pelo argumento com a fatoração da diferença de cubos. - Mostramos que
é sobrejetiva porque todo tem pré-imagem real (ex.: ), ou pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário à função .
Portanto
é bijetiva (injetiva e sobrejetiva). O inverso explícito é
, e verifica-se facilmente que
e
.
Resposta
Injetiva: sim.
Sobrejetiva: sim.
Sobrejetiva: sim.