Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado fornece a regra
e pede para dizer (com justificativa) se
é injetiva e se
é sobrejetiva.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio escrito:
. - Contradomínio escrito:
. - Fórmula:
.
Passo 2
Antes de testar injeção/sobrejeção, é preciso checar se a regra está bem-definida para todos os
do domínio indicado. Lembre que a expressão
(na aritmética real) está definida apenas para
: para
a raiz quadrada não é um número real. Então, para
não existe um valor real
. Uma função precisa associar a cada elemento do domínio um valor no contradomínio; se isso falha para alguns elementos do domínio, a regra não é uma função bem-definida com esse domínio.
Passo 3
Conclusão lógica imediata: tal como está escrita (
com
), a regra não fornece um valor real para todos os
. Portanto não é uma função
bem-definida — e, por isso, não faz sentido classificá-la (como injetiva ou sobrejetiva) sem corrigir o domínio ou reinterpretar o enunciado.
Passo 4
É comum que, ao ver essa fórmula, o autor tenha querido o domínio restringido a
. Vou, então, a partir daqui, analisar a situação mais usual e útil para provas: considerar
Essa é uma interpretação natural porque aí
é sempre bem-definida como número real.
Passo 5
Definição de injetividade (lembrando passo a passo): a função
é injetiva se, para quaisquer
no domínio,
Ou em palavras: valores iguais na imagem só podem vir de entradas iguais.
Passo 6
Prova de que
é injetiva (na interpretação com domínio
):
- Suponha que
e que
- Como
e são números não negativos, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder equivalência. Isso dá
- Portanto a implicação da definição de injetividade vale, e
é injetiva em .
Comentário intuitivo curto: a função
é estritamente crescente em
— entradas maiores dão saídas maiores — o que também garante injetividade.
Passo 7
Definição de sobrejetividade:
é sobrejetiva (ou “sobre”) quando, para todo
no contradomínio, existe pelo menos um
no domínio tal que
. Em símbolos, para todo
no contradomínio existe
no domínio com
Passo 8
Testando sobrejetividade de
:
- O contradomínio declarado é
, ou seja, inclui números negativos. - Mas para todo
tem-se . Logo todos os valores da imagem de são não-negativos. - Portanto, por exemplo, não existe
com . Assim nem todos os têm um antecedente: números negativos não são atingidos. - Conclusão:
não é sobrejetiva.
Passo 9
Observações complementares úteis para prova/questão de prova:
- Se o contradomínio for tomado como
(ou seja, se considerarmos ), então torna-se sobrejetiva: dado , basta escolher e obter (aqui porque ). Combinando com a injetividade já demonstrada, seria bijetiva nesse caso. - Resumindo: a questão da sobrejetividade depende do contradomínio escolhido; a injetividade depende do domínio escolhido. Com domínio
e contradomínio a função é bijetiva; com domínio e contradomínio é injetiva mas não sobrejetiva.
Resposta
Como está escrita (
): a regra não é bem-definida para
, logo não é uma função
e não se pode classificá-la como injetiva/sobrejetiva.
Interpretando o domínio como :
é injetiva e não é sobrejetiva quando o contradomínio é
. Se o contradomínio for
, então
é bijetiva.
Interpretando o domínio como