Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado fornece a regra
f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt{x},
e pede para dizer (com justificativa) se f é injetiva e se f é sobrejetiva.
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio escrito: \mathbb{R}.
  • Contradomínio escrito: \mathbb{R}.
  • Fórmula: f(x)=\sqrt{x}.

Passo 2

Antes de testar injeção/sobrejeção, é preciso checar se a regra está bem-definida para todos os x do domínio indicado. Lembre que a expressão \sqrt{x} (na aritmética real) está definida apenas para x\ge0: para x<0 a raiz quadrada não é um número real. Então, para x<0 não existe um valor real \sqrt{x}. Uma função precisa associar a cada elemento do domínio um valor no contradomínio; se isso falha para alguns elementos do domínio, a regra não é uma função bem-definida com esse domínio.

Passo 3

Conclusão lógica imediata: tal como está escrita ( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com f(x)=\sqrt{x}), a regra não fornece um valor real para todos os x\in\mathbb{R}. Portanto não é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R} bem-definida — e, por isso, não faz sentido classificá-la (como injetiva ou sobrejetiva) sem corrigir o domínio ou reinterpretar o enunciado.

Passo 4

É comum que, ao ver essa fórmula, o autor tenha querido o domínio restringido a [0,\infty). Vou, então, a partir daqui, analisar a situação mais usual e útil para provas: considerar
f:[0,\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt{x}.
Essa é uma interpretação natural porque aí \sqrt{x} é sempre bem-definida como número real.

Passo 5

Definição de injetividade (lembrando passo a passo): a função f é injetiva se, para quaisquer x_1,x_2 no domínio,
f(x_1)=f(x_2)\\ \Longrightarrow\\ x_1=x_2.
Ou em palavras: valores iguais na imagem só podem vir de entradas iguais.

Passo 6

Prova de que f é injetiva (na interpretação com domínio [0,\infty)):
  • Suponha que x_1,x_2\in[0,\infty) e que
\sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}.
  • Como \sqrt{x_1} e \sqrt{x_2} são números não negativos, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem perder equivalência. Isso dá
(\sqrt{x_1})^{2}=(\sqrt{x_2})^{2}\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
  • Portanto a implicação da definição de injetividade vale, e f é injetiva em [0,\infty).
Comentário intuitivo curto: a função \sqrt{x} é estritamente crescente em [0,\infty) — entradas maiores dão saídas maiores — o que também garante injetividade.

Passo 7

Definição de sobrejetividade: f é sobrejetiva (ou “sobre”) quando, para todo y no contradomínio, existe pelo menos um x no domínio tal que f(x)=y. Em símbolos, para todo y no contradomínio existe x no domínio com
f(x)=y.

Passo 8

Testando sobrejetividade de f:[0,\infty)\to\mathbb{R}:
  • O contradomínio declarado é \mathbb{R}, ou seja, inclui números negativos.
  • Mas para todo x\in[0,\infty) tem-se \sqrt{x}\ge0. Logo todos os valores da imagem de f são não-negativos.
  • Portanto, por exemplo, não existe x\in[0,\infty) com f(x)=-1. Assim nem todos os y\in\mathbb{R} têm um antecedente: números negativos não são atingidos.
  • Conclusão: f:[0,\infty)\to\mathbb{R} não é sobrejetiva.

Passo 9

Observações complementares úteis para prova/questão de prova:
  • Se o contradomínio for tomado como [0,\infty) (ou seja, se considerarmos f:[0,\infty)\to[0,\infty)), então f torna-se sobrejetiva: dado y\ge0, basta escolher x=y^{2} e obter f(x)=\sqrt{y^{2}}=y (aqui \sqrt{y^{2}}=y porque y\ge0). Combinando com a injetividade já demonstrada, f seria bijetiva nesse caso.
  • Resumindo: a questão da sobrejetividade depende do contradomínio escolhido; a injetividade depende do domínio escolhido. Com domínio [0,\infty) e contradomínio [0,\infty) a função é bijetiva; com domínio [0,\infty) e contradomínio \mathbb{R} é injetiva mas não sobrejetiva.

Resposta

Como está escrita ( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\\ f(x)=\sqrt{x}): a regra não é bem-definida para x<0, logo não é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R} e não se pode classificá-la como injetiva/sobrejetiva.
Interpretando o domínio como [0,\infty): f é injetiva e não é sobrejetiva quando o contradomínio é \mathbb{R}. Se o contradomínio for [0,\infty), então f é bijetiva.

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