QUESTÃO 25

Uma luz de comprimento de onda \lambda=5,46 \cdot 10^{-7} \mathrm{~m} penetra em uma fotocélula de cátodo de césio, cuja função trabalho é de 2 eV . Podemos afirmar corretamente que a frequência de corte para o césio e a energia cinética máxima valem, respectivamente:
a) 2,4 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} e 4,3 \times 10^{-20} \mathrm{~J}
b) 4,8 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} e 6,8 \times 10^{-20} \mathrm{~J}
c) 4,8 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} e 4,3 \times 10^{-20} \mathrm{~J}
d) 4,3 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} e 2,4 \times 10^{14} \mathrm{~J}
e) 6,8 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1} e 4,8 \times 10^{-20} \mathrm{~J}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento de onda da luz: \lambda=5{,}46\cdot10^{-7}\\ \mathrm{m}.
    • Função trabalho do cátodo de césio: \varphi=2\\ \mathrm{eV}.
  • O enunciado pede:
    • A frequência de corte (ou frequência mínima) para o césio.
    • A energia cinética máxima dos elétrons emitidos quando essa luz incide no cátodo.
  • Observação importante: as alternativas já trazem valores numéricos a comparar; portanto vamos calcular a frequência de corte e a energia cinética máxima em unidades do SI (hertz e joule), depois arredondar para comparar com as alternativas.

Passo 2

Relembrando as fórmulas e constantes que usaremos — explicando cada coisa de forma prática.
  • Fotoelétrico: um fóton com energia h\nu (onde h é a constante de Planck e \nu a frequência) precisa ter pelo menos a energia da função trabalho \varphi para arrancar um elétron. A energia cinética máxima dos elétrons emitidos é
K_{\max}=h\nu-\varphi.
Aqui:
  • h é a constante de Planck ( h\approx6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}),
  • \nu é a frequência da luz que incide,
  • \varphi é a função trabalho em joules.
  • Frequência e comprimento de onda estão ligados por
\nu=\frac{c}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz ( c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).
  • A frequência de corte \nu_0 é a frequência tal que h\nu_0=\varphi, logo
\nu_0=\frac{\varphi}{h}.
  • Conversão de elétron-volt para joule: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
\varphi=2\\ \mathrm{eV}=2\times1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=3{,}204\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Calcular a frequência de corte \nu_0.
Usando \nu_0=\dfrac{\varphi}{h} e o valor de \varphi em joules:
\varphi=3{,}204\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\qquad h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Portanto
\nu_0=\frac{3{,}204\times10^{-19}}{6{,}626\times10^{-34}} =\frac{3{,}204}{6{,}626}\times10^{15} \approx0{,}4834\times10^{15}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Escrevendo em potência de dez conveniente:
\nu_0\approx4{,}83\times10^{14}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Arredondando para a precisão das alternativas: \nu_0\approx4{,}8\times10^{14}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Comentário rápido: a frequência de corte é a menor frequência capaz de arrancar elétrons; para \nu<\nu_0 não há emissão fotoelétrica.

Passo 4

Calcular a energia do fóton que incide, usando E_{\text{fóton}}=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}ó.
Valores:
h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\qquad c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\qquad \lambda=5{,}46\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Calculemos o numerador:
hc=6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}=1{,}9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora a energia:
E_{\text{fóton}}=\frac{1{,}9878\times10^{-25}}{5{,}46\times10^{-7}} =\frac{1{,}9878}{5{,}46}\times10^{-19} \approx0{,}3642\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.ó
Reescrevendo:
E_{\text{fóton}}\approx3{,}642\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Para interpretação física, em elétron-volts:
E_{\text{fóton}}=\frac{3{,}642\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx2{,}27\\ \mathrm{eV}.ó

Passo 5

Calcular a energia cinética máxima K_{\max}=h\nu-\varphi=E_{\text{fóton}}-\varphió.
Usando os valores numéricos:
E_{\text{fóton}}=3{,}642\times10^{-19}\\ \mathrm{J},\qquad \varphi=3{,}204\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Logo
K_{\max}=3{,}642\times10^{-19}-3{,}204\times10^{-19}=0{,}438\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Reescrevendo em potência de dez padrão:
K_{\max}=4{,}38\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para combinar com as alternativas: K_{\max}\approx4{,}3\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a energia do fóton é de cerca de 2{,}27\\ \mathrm{eV}, a função trabalho é 2{,}00\\ \mathrm{eV}, então sobra cerca de 0{,}27\\ \mathrm{eV} como energia cinética máxima do elétron (que em joules é 4{,}38\times10^{-20}\\ \mathrm{J}).

Passo 6

Comparar com as alternativas fornecidas.
  • Frequência de corte calculada: \nu_0\approx4{,}8\times10^{14}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Energia cinética máxima calculada: K_{\max}\approx4{,}3\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
A alternativa que traz esses dois valores é a letra c).

Resposta

c) \;4{,}8\times10^{14}\\ \mathrm{s}^{-1} e \;4{,}3\times10^{-20}\\ \mathrm{J}

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